2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки




Начать новую тему Ответить на тему На страницу 1, 2  След.
 
 Решение кубических ур. без использования комплексных чисел
Сообщение22.10.2021, 14:25 


15/08/20
25
Решение кубических уравнений без использования
комплексных чисел.

Опишем метод решения в целых числах произвольного уравнения 2-й степени с двумя неизвестными (метод выделения полных квадратов по Лагранжу).
Общее уравнение 2-й степени с двумя неизвестным
$$au^2  + buv + cv^2 + du + ev + f = 0, \eqno(1)$$
может быть приведено к виду (2),
$$x^2 + Ay^2=B, \eqno(2)$$
где $$A=b^2-4ac\ne0  \eqno(3)$$
$$B=(bd-2ae)^2-(b^2-4ac)(d^2-4af).$$
при этом $$x=(b^2-4ac)v+bd-2ae,  \eqno(4)$$
$$y=2au+bv+d.  \eqno(5)$$
Таким образом,любое решение $(u,v)$ уравнения (1) находится
по формулам:
$$u=-bx+(b^2-4ac)y-2a(be-2dc),2a(b^2-4ac),$$
$$v=x-bd+2ae,  b^2-4ac,$$
где $(x,y)$ - решения уравнения (2).

Если в (2) взять $x=1-y\sqrt{A}$,то
$$y=-(B-1)/2\sqrt{A},  x=1+(B-1)/2,$$
найденные $x$ и $y$ подставить в (4) и (5),то получится (6):
$$(b^2-4ac)v+bd-2ae-1+(2au+bv+d)\sqrt{A}=0. \eqno(6)$$
Теперь, если в (1) и (6) взять $u = v^2$, то получается (7) и (8)
$$av^4+bv^3+cv^2+dv^2+ev+f=0, \eqno(7)$$
$$v^2+((b\sqrt{A}+b-4ac)/2a\sqrt{A})v+(d\sqrt{A}-1+bd-2ae)/2a\sqrt{A}=0. \eqno(8)$$
Очевидно,что некоторые корни (8) будут решениями и для (7).
Таким образом,эти выражения являются методом решения уравнений третьей и четвёртой степени.
Если приведённое уравнение третьей степени домножить на $x$:
$$x^4-px^2+qx=0$$,то для (8) $a=1,b=0,c=p,d=0,e=q$
$$\pm4\sqrt{p}x^2+4px+1+2q=0,$$
$$x=\pm\sqrt{p}/2\pm\sqrt{p/4\pm(1+2q)/2\sqrt{p}}\eqno(9)$$
Например.
1.Уравнение: $$x^3-19x+30=0.$$
Из формулы (9):
$$ x=\pm\sqrt{19}/2\pm\sqrt{19/4\pm(1+2\cdot30)/2\sqrt{19}}$$
$$x=\pm2\pm3=\pm1,\pm5. $$
$$(x+5)(x^2-5x+6)=0$$
2.Уравнение: $$x^3-43x+42=0.$$
Из формулы (9);
$$ x=\pm\sqrt{43}\pm\sqrt{43/4\pm(1+2\cdot42)/2\sqrt{43}}$$
$$x=\pm3\pm4=\pm1,\pm7,$$
$$(x+7)(x^2-7x+6)=0$$
Может ли этот метод конкурировать с методом Кардано?
Хотелось бы услышать мнение тех,кто с ним работает.

 Профиль  
                  
 
 Re: Решение кубических ур. без использования комплексных чисел
Сообщение22.10.2021, 15:22 
Заслуженный участник


20/12/10
8858
cheslav в сообщении #1535903 писал(а):
Может ли этот метод конкурировать с методом Кардано?
У Вас опять какой-то мутный текст. Вот написано:
cheslav в сообщении #1535903 писал(а):
$$ x=\pm\sqrt{19}/2\pm\sqrt{19/4\pm(1+2\cdot30)/2\sqrt{19}}$$
И далее следует:
cheslav в сообщении #1535903 писал(а):
$$x=\pm2\pm3=\pm1,\pm5. $$
И как это понимать? Как Вы решаете уравнение $x^3-19x+30=0$, совершенно непонятно, какие-то танцы с бубнами.

 Профиль  
                  
 
 Re: Решение кубических ур. без использования комплексных чисел
Сообщение22.10.2021, 16:33 
Заслуженный участник


09/05/12
25179

(Оффтоп)

cheslav в сообщении #1535903 писал(а):
Может ли этот метод конкурировать с методом Кардано?
Хотелось бы услышать мнение тех,кто с ним работает.
В 2021 году, пожалуй, сначала стоит найти кого-нибудь, кто "работает с методом Кардано". :-)

 Профиль  
                  
 
 Re: Решение кубических ур. без использования комплексных чисел
Сообщение22.10.2021, 17:10 
Заслуженный участник


20/12/10
8858
Pphantom в сообщении #1535919 писал(а):

(Оффтоп)

cheslav в сообщении #1535903 писал(а):
Может ли этот метод конкурировать с методом Кардано?
Хотелось бы услышать мнение тех,кто с ним работает.
В 2021 году, пожалуй, сначала стоит найти кого-нибудь, кто "работает с методом Кардано". :-)

(Оффтоп)

Я "работал с методом Кардано" в 2020 году :oops: Доказал этим методом, что многочлен $x^3-x^2-x-1$ имеет единственный корень в поле $\mathbb{F}_p$ для любого простого $p \equiv -1 \pmod{33}$. Пустячок, а приятно :-)

 Профиль  
                  
 
 Re: Решение кубических ур. без использования комплексных чисел
Сообщение23.10.2021, 06:20 
Аватара пользователя


22/07/08
1402
Предместья
cheslav в сообщении #1535903 писал(а):
Если в (2) взять $x=1-y\sqrt{A}$, то

$y=-(B-1)/2\sqrt{A}, \qquad x=1+(B-1)/2,$

Распишите эту подстановку подробно.
Здесь какая-то ошибка.

 Профиль  
                  
 
 Re: Решение кубических ур. без использования комплексных чисел
Сообщение27.10.2021, 16:40 


15/08/20
25
nnosipov в сообщении #1535913 писал(а):
И далее следует:cheslav в сообщении #1535903

писал(а):
$$x=\pm2\pm3=\pm1,\pm5. $$ И как это понимать? Как Вы решаете уравнение $x^3-19x+30=0$,

$$\sqrt{19}/2\approx\pm2,18\approx\pm2$$
$$\pm\sqrt{19/4\pm(1+60)/2\cdot\sqrt{19}}\approx$ \approx\pm3.43\approx\pm3$$

$$x=\sqrt{19}/2\pm
\sqrt{19/4\pm(1+60)/2\cdot\sqrt{19}}\approx$ \approx\pm2\pm3.$$
$$x=\pm1,\pm5$$
Подстановкой определяется,что из этих корней подходит $x=-5$.

-- 27.10.2021, 16:46 --

Pphantom в сообщении #1535919 писал(а):

(Оффтоп)

cheslav в сообщении #1535903 писал(а):
Может ли этот метод конкурировать с методом Кардано?
Хотелось бы услышать мнение тех,кто с ним работает.
В 2021 году, пожалуй, сначала стоит найти кого-нибудь, кто "работает с методом Кардано". :-)

Большинство онлайн калькуляторов пишут,что для решения уравнений третьей степени используют формулу Кардано (Виета-Кардано).

 Профиль  
                  
 
 Re: Решение кубических ур. без использования комплексных чисел
Сообщение27.10.2021, 17:47 
Заслуженный участник


20/12/10
8858
А не проще ли тогда взять и угадать весь корень $x=-5$ целиком? На шаманство какое-то смахивает.

 Профиль  
                  
 
 Re: Решение кубических ур. без использования комплексных чисел
Сообщение27.10.2021, 21:45 
Аватара пользователя


22/07/08
1402
Предместья
cheslav в сообщении #1535903 писал(а):
Если приведённое уравнение третьей степени домножить на $x$:
$$x^4-px^2+qx=0$$,то для (8) $a=1,b=0,c=p,d=0,e=q$

Здесь не правильно.
Не для $c=p$, а для $c+d = -p$.
Так будет спокойнее...

 Профиль  
                  
 
 Re: Решение кубических ур. без использования комплексных чисел
Сообщение27.10.2021, 22:34 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


23/07/05
17973
Москва
cheslav в сообщении #1535903 писал(а):
Теперь, если в (1) и (6) взять $u = v^2$, то получается (7) и (8)
$$av^4+bv^3+cv^2+dv^2+ev+f=0, \eqno(7)$$
$$v^2+((b\sqrt{A}+b-4ac)/2a\sqrt{A})v+(d\sqrt{A}-1+bd-2ae)/2a\sqrt{A}=0. \eqno(8)$$
Очевидно,что некоторые корни (8) будут решениями и для (7).
Таким образом,эти выражения являются методом решения уравнений третьей и четвёртой степени.
Если приведённое уравнение третьей степени домножить на $x$:
$$x^4-px^2+qx=0$$,то для (8) $a=1,b=0,c=p,d=0,e=q$
$$\pm4\sqrt{p}x^2+4px+1+2q=0,$$
$$x=\pm\sqrt{p}/2\pm\sqrt{p/4\pm(1+2q)/2\sqrt{p}}\eqno(9)$$
Во-первых, формула для корней квадратного уравнения у Вас написана с ошибкой: в подкоренном выражении знаменатель второй дроби должен быть равен $4\sqrt{p}$.
Во-вторых, запись четырёх корней с тремя знаками "$\pm$" является невразумительной, и, возможно, Вы в ней запутались.

cheslav в сообщении #1535903 писал(а):
Например.
1.Уравнение: $$x^3-19x+30=0.$$
Из формулы (9):
$$ x=\pm\sqrt{19}/2\pm\sqrt{19/4\pm(1+2\cdot30)/2\sqrt{19}}$$
$$x=\pm2\pm3=\pm1,\pm5. $$
$$(x+5)(x^2-5x+6)=0$$
2.Уравнение: $$x^3-43x+42=0.$$
Из формулы (9);
$$ x=\pm\sqrt{43}\pm\sqrt{43/4\pm(1+2\cdot42)/2\sqrt{43}}$$
$$x=\pm3\pm4=\pm1,\pm7,$$
$$(x+7)(x^2-7x+6)=0$$
Я, конечно, рассмотрел собственный пример: $$x^3-27x+44=0.$$ В соответствии с вашими обозначениями, здесь $p=27$, $q=44$, и мы получаем два квадратных уравнения: $$\left[\begin{aligned}12\sqrt{3}x^2+108x+89=0,\\-12\sqrt{3}x^2+108x+89=0.\end{aligned}\right.$$ Первое из них имеет корни $\frac 16\left(-9\sqrt{3}-\sqrt{243-89\sqrt{3}}\right)\approx-4.16906$ и $\frac 16\left(-9\sqrt{3}+\sqrt{243-89\sqrt{3}}\right)\approx-1.02709$.
Второе имеет корни $\frac 16\left(-9\sqrt{3}-\sqrt{243+89\sqrt{3}}\right)\approx-0.723371$ и $\frac 16\left(-9\sqrt{3}+\sqrt{243+89\sqrt{3}}\right)\approx 5.91952$.
Ну и какой из этих корней является корнем исходного кубического уравнения? Оно имеет такие корни: $4$, $-2-\sqrt{15}\approx-5.87298$ и $-2+\sqrt{15}\approx 1.87298$.
Кстати, в ваших примерах, вопреки утверждению "очевидно, что некоторые корни (8) будут решениями и для (7)", тоже ни один из корней квадратного уравнения не является корнем кубического уравнения. В обоих примерах корни квадратного уравнения иррациональные, а корни обоих кубических уравнений у Вас целые.
Ладно, я мог бы предположить, что Вы эти иррациональные корни округлили до целых (я ваши вычисления пока не проверял, но ошибка в формуле у Вас есть, о чём я уже писал). Однако если в моём примере округлить корни квадратных уравнений до целых, то получатся числа $-4$, $-1$, $-1$, $6$. Во-первых, это совсем не похоже на ваши $\pm 2\pm 3$ и $\pm 3\pm 4$. Во-вторых, ни одно из этих четырёх целых чисел не является корнем кубического уравнения и даже не близко к нему.

cheslav в сообщении #1535903 писал(а):
Может ли этот метод конкурировать с методом Кардано?
Прежде чем конкурировать, нужно исправить все ошибки и убедиться, что действительно получается хотя бы один из корней кубического уравнения. Учтите, что корни кубического уравнения могут быть иррациональными, не выражающимися через квадратные корни. Например, у уравнения $x^3-3x+1=0$ такие корни. Поэтому ваша идея выглядит более чем сомнительной.

 Профиль  
                  
 
 Re: Решение кубических ур. без использования комплексных чисел
Сообщение28.10.2021, 05:03 
Заслуженный участник


20/08/14
11368
Россия, Москва
Someone в сообщении #1536588 писал(а):
Учтите, что корни кубического уравнения могут быть иррациональными, не выражающимися через квадратные корни. Например, у уравнения $x^3-3x+1=0$ такие корни.
Думаю скажет что такие уравнения отбрасываются так как не имеют целочисленных корней (проверит прямой подстановкой всех своих насчитанных вариантов).

cheslav
Мне вот другое интересно: тема заявлена как "без использования комплексных чисел", но как тогда решать уравнение $x^3+19x+46$, имеющее целый корень $x=-2$, ведь в нём $p=-19$ и корень $\sqrt{p}=\sqrt{-19}$ в ваших формулах непонятно как извлекать?

 Профиль  
                  
 
 Re: Решение кубических ур. без использования комплексных чисел
Сообщение28.10.2021, 08:17 
Аватара пользователя


22/07/08
1402
Предместья
cheslav в сообщении #1535903 писал(а):
то для (8) $a=1,b=0,c=p,d=0,e=q$

Вообще-то, $c=p, d=0$ - это - произвол.
Почему не $c=0, d=p$, почему не $c=p/2, d=p/2$?
У Вас же и $c$, и $d$ - это коэффициенты при $v^2$.
К тому же это не верно.
Я бы еще понял $c=p, d= -2p$, или $c=-p, d=0$, но так, как у вас - это ни в какие ворота...

-- Чт окт 28, 2021 07:32:03 --

cheslav в сообщении #1535903 писал(а):
Очевидно,что некоторые корни (8) будут решениями и для (7).

Очевидно, что в формулу (8) не входит свободный член $f$.
Поэтому всегда можно подставить такое значение $f$ в уравнение (7),
при котором ни один корень уравнения (8) не будет решением для уравнения (7).
И эти два уравнения никак между собой не связаны.

 Профиль  
                  
 
 Re: Решение кубических ур. без использования комплексных чисел
Сообщение28.10.2021, 15:24 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


23/07/05
17973
Москва
Dmitriy40 в сообщении #1536614 писал(а):
Думаю скажет что такие уравнения отбрасываются так как не имеют целочисленных корней (проверит прямой подстановкой всех своих насчитанных вариантов).
В стартовом сообщении и в последующем тексте ничего о целых корнях не говорится. Кроме того, его "проверка" совершенно недостаточна, поскольку наверняка часто промахивается. Более того, предлагается чисто алгебраический метод, для которого целочисленность не существенна.

С другой стороны, метод подбора целочисленных корней многочленов хорошо известен. В частности, известно, среди каких чисел он может быть и среди каких не может.

 Профиль  
                  
 
 Re: Решение кубических ур. без использования комплексных чисел
Сообщение28.10.2021, 16:42 
Заслуженный участник


20/08/14
11368
Россия, Москва
Someone в сообщении #1536712 писал(а):
В стартовом сообщении и в последующем тексте ничего о целых корнях не говорится.
Ну как же:
cheslav в сообщении #1535903 писал(а):
Опишем метод решения в целых числах произвольного уравнения 2-й степени с двумя неизвестными (метод выделения полных квадратов по Лагранжу).
[...]
Очевидно,что некоторые корни (8) будут решениями и для (7).
Таким образом,эти выражения являются методом решения уравнений третьей и четвёртой степени.
Т.е. при выводе формул изначально используется факт целочисленности корней. Разве не? Ну и примеры там же показывают целые корни.

В общем ИМХО это что-то левое и не отвечающее заявленному.

 Профиль  
                  
 
 Re: Решение кубических ур. без использования комплексных чисел
Сообщение28.10.2021, 17:58 


15/08/20
25
Dmitriy40 в сообщении #1536614 писал(а):
cheslav
Мне вот другое интересно: тема заявлена как "без использования комплексных чисел", но как тогда решать уравнение $x^3+19x+46$, имеющее целый корень $x=-2$, ведь в нём $p=-19$ и корень $\sqrt{p}=\sqrt{-19}$ в ваших формулах непонятно как извлекать?

В заголовке не хватило места для "уравнений третьей степени с отрицательным дискриминантом".В вашем примере дискриминант положительный и уравнение решается без комплексных чисел в третьей степени.

-- 28.10.2021, 18:42 --

cheslav в сообщении #1535903 писал(а):
Вообще-то, $c=p, d=0$ - это - произвол.
Почему не $c=0, d=p$, почему не $c=p/2, d=p/2$?

При $c=0$ и $b=0$ почти всё в ноль обрашается.
При других $c$ b $d$ опять уравнение третьей степени.
Только при $d=0$ для $x$ получается уравнение второй степени.
Этот выбор обусловлен стремлением получить более лёгкое выражение.Это вынужденный произвол.

 Профиль  
                  
 
 Re: Решение кубических ур. без использования комплексных чисел
Сообщение28.10.2021, 18:46 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


23/07/05
17973
Москва
Dmitriy40 в сообщении #1536735 писал(а):
Т.е. при выводе формул изначально используется факт целочисленности корней. Разве не? Ну и примеры там же показывают целые корни.
Вы проверяли? Там иррациональные корни, которые автор внаглую округляет до целых. Вдобавок, неправильно решается квадратное уравнение (ошибка в формуле). При использовании выписанной формулы автор не учитывает, что три знака "$\pm$" в его формуле не являются независимыми, поэтому ничего похожего на $\pm 2\pm 3$ не получается.

Где автор использует факт целочисленности корней, я не заметил (но особо и не разбирался). По-моему, он просто воспользовался подстановками, применяемыми для приведения исходного уравнения к некоторому каноническому виду.

Я же добросовестно просчитал свой пример, там никаких целых корней не получается. И даже ничего близкого к корням кубического уравнения не получается.

В общем, пусть автор исправляет ошибки и пишет аккуратный вменяемый текст, учитывая замечания, сделанные разными участниками обсуждения.

cheslav в сообщении #1536750 писал(а):
В заголовке не хватило места для "уравнений третьей степени с отрицательным дискриминантом".
Если записывать приведённое кубическое уравнение как у Вас ($x^3-px+q=0$), то нужно, наверное, написать "с положительным $p$". Потому что я не вижу, почему в вашем "методе" играет роль знак дискриминанта. Зато хорошо видно, почему нужно положительное $p$. Впрочем, это ваша задача: проанализировать область применения вашего метода.

Последнее замечание: если речь идёт о целых корнях, то это интересно только в том случае, если хотя бы один из четырёх корней (или двух, как в вашем первом примере, где у одного из двух квадратных уравнений отрицательный дискриминант) действительно является целым и точно совпадает с одним из корней кубического уравнения. Без всякого "округления" на неизвестную величину. Поскольку метод подбора рациональных корней многочленов с целыми коэффициентами и без Вас хорошо известен, и я школьников этому методу обучаю.

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 19 ]  На страницу 1, 2  След.

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group