Теперь, если в (1) и (6) взять
![$u = v^2$ $u = v^2$](https://dxdy-03.korotkov.co.uk/f/e/d/e/edee6ba8845b1d0edb927b201220f94982.png)
, то получается (7) и (8)
![$$av^4+bv^3+cv^2+dv^2+ev+f=0, \eqno(7)$$ $$av^4+bv^3+cv^2+dv^2+ev+f=0, \eqno(7)$$](https://dxdy-01.korotkov.co.uk/f/8/f/3/8f36f4f9d52dfee6e923340f199e943d82.png)
![$$v^2+((b\sqrt{A}+b-4ac)/2a\sqrt{A})v+(d\sqrt{A}-1+bd-2ae)/2a\sqrt{A}=0. \eqno(8)$$ $$v^2+((b\sqrt{A}+b-4ac)/2a\sqrt{A})v+(d\sqrt{A}-1+bd-2ae)/2a\sqrt{A}=0. \eqno(8)$$](https://dxdy-03.korotkov.co.uk/f/e/d/3/ed3ff338c0d5b19e8bb0740c6d3e63e382.png)
Очевидно,что некоторые корни (8) будут решениями и для (7).
Таким образом,эти выражения являются методом решения уравнений третьей и четвёртой степени.
Если приведённое уравнение третьей степени домножить на
![$x$ $x$](https://dxdy-04.korotkov.co.uk/f/3/3/2/332cc365a4987aacce0ead01b8bdcc0b82.png)
:
![$$x^4-px^2+qx=0$$ $$x^4-px^2+qx=0$$](https://dxdy-03.korotkov.co.uk/f/a/3/c/a3c8773a0fcd5b1a22866d15e5f4bbde82.png)
,то для (8)
![$a=1,b=0,c=p,d=0,e=q$ $a=1,b=0,c=p,d=0,e=q$](https://dxdy-01.korotkov.co.uk/f/4/3/5/435297b0222017a10d9057ee4e22ae4382.png)
![$$\pm4\sqrt{p}x^2+4px+1+2q=0,$$ $$\pm4\sqrt{p}x^2+4px+1+2q=0,$$](https://dxdy-03.korotkov.co.uk/f/e/f/4/ef4ea389c677bc7ae58a7e855519c71382.png)
![$$x=\pm\sqrt{p}/2\pm\sqrt{p/4\pm(1+2q)/2\sqrt{p}}\eqno(9)$$ $$x=\pm\sqrt{p}/2\pm\sqrt{p/4\pm(1+2q)/2\sqrt{p}}\eqno(9)$$](https://dxdy-01.korotkov.co.uk/f/c/b/3/cb3ae2830e0673071eafb2159b3d5db082.png)
Во-первых, формула для корней квадратного уравнения у Вас написана с ошибкой: в подкоренном выражении знаменатель второй дроби должен быть равен
![$4\sqrt{p}$ $4\sqrt{p}$](https://dxdy-04.korotkov.co.uk/f/7/6/2/76219be8ee6a12a7680f2a1e4cb15acc82.png)
.
Во-вторых, запись четырёх корней с тремя знаками "
![$\pm$ $\pm$](https://dxdy-04.korotkov.co.uk/f/f/6/2/f62db12f95e34116f1f1e827b2c64ce582.png)
" является невразумительной, и, возможно, Вы в ней запутались.
Я, конечно, рассмотрел собственный пример:
![$$x^3-27x+44=0.$$ $$x^3-27x+44=0.$$](https://dxdy-03.korotkov.co.uk/f/6/e/5/6e5eb5ef6cd0b22e20c914d71f7091f482.png)
В соответствии с вашими обозначениями, здесь
![$p=27$ $p=27$](https://dxdy-02.korotkov.co.uk/f/9/0/a/90a83b46b990ca5db304a4fa4783cf2c82.png)
,
![$q=44$ $q=44$](https://dxdy-02.korotkov.co.uk/f/9/6/b/96b557d6dc291104d9ba51e25c6dbdb682.png)
, и мы получаем два квадратных уравнения:
![$$\left[\begin{aligned}12\sqrt{3}x^2+108x+89=0,\\-12\sqrt{3}x^2+108x+89=0.\end{aligned}\right.$$ $$\left[\begin{aligned}12\sqrt{3}x^2+108x+89=0,\\-12\sqrt{3}x^2+108x+89=0.\end{aligned}\right.$$](https://dxdy-01.korotkov.co.uk/f/0/0/7/007238ee7096e0e1e365c7a9a9149a5a82.png)
Первое из них имеет корни
![$\frac 16\left(-9\sqrt{3}-\sqrt{243-89\sqrt{3}}\right)\approx-4.16906$ $\frac 16\left(-9\sqrt{3}-\sqrt{243-89\sqrt{3}}\right)\approx-4.16906$](https://dxdy-04.korotkov.co.uk/f/b/9/f/b9f5e402d09c24261a257da4d4d4ec5a82.png)
и
![$\frac 16\left(-9\sqrt{3}+\sqrt{243-89\sqrt{3}}\right)\approx-1.02709$ $\frac 16\left(-9\sqrt{3}+\sqrt{243-89\sqrt{3}}\right)\approx-1.02709$](https://dxdy-02.korotkov.co.uk/f/1/a/0/1a0f399716ac04c09541b9dacafb14e782.png)
.
Второе имеет корни
![$\frac 16\left(-9\sqrt{3}-\sqrt{243+89\sqrt{3}}\right)\approx-0.723371$ $\frac 16\left(-9\sqrt{3}-\sqrt{243+89\sqrt{3}}\right)\approx-0.723371$](https://dxdy-03.korotkov.co.uk/f/2/0/a/20a453fb437ff914ae67f6243a1a34ef82.png)
и
![$\frac 16\left(-9\sqrt{3}+\sqrt{243+89\sqrt{3}}\right)\approx 5.91952$ $\frac 16\left(-9\sqrt{3}+\sqrt{243+89\sqrt{3}}\right)\approx 5.91952$](https://dxdy-02.korotkov.co.uk/f/9/5/d/95df0ea06f07d8a3d8a703b6a54712c882.png)
.
Ну и какой из этих корней является корнем исходного кубического уравнения? Оно имеет такие корни:
![$4$ $4$](https://dxdy-03.korotkov.co.uk/f/e/c/f/ecf4fe2774fd9244b4fd56f7e76dc88282.png)
,
![$-2-\sqrt{15}\approx-5.87298$ $-2-\sqrt{15}\approx-5.87298$](https://dxdy-03.korotkov.co.uk/f/6/1/3/613de7258a1e0d64bbd3608d3e82806c82.png)
и
![$-2+\sqrt{15}\approx 1.87298$ $-2+\sqrt{15}\approx 1.87298$](https://dxdy-03.korotkov.co.uk/f/2/8/3/28352b8b954aaf01754ae8c3e400b13a82.png)
.
Кстати, в ваших примерах, вопреки утверждению "очевидно, что некоторые корни (8) будут решениями и для (7)", тоже ни один из корней квадратного уравнения не является корнем кубического уравнения. В обоих примерах корни квадратного уравнения иррациональные, а корни обоих кубических уравнений у Вас целые.
Ладно, я мог бы предположить, что Вы эти иррациональные корни округлили до целых (я ваши вычисления пока не проверял, но ошибка в формуле у Вас есть, о чём я уже писал). Однако если в моём примере округлить корни квадратных уравнений до целых, то получатся числа
![$-4$ $-4$](https://dxdy-03.korotkov.co.uk/f/a/d/b/adbf0cd82887ba885e5126927ff2aec082.png)
,
![$-1$ $-1$](https://dxdy-03.korotkov.co.uk/f/e/1/1/e11a8cfcf953c683196d7a48677b227782.png)
,
![$-1$ $-1$](https://dxdy-03.korotkov.co.uk/f/e/1/1/e11a8cfcf953c683196d7a48677b227782.png)
,
![$6$ $6$](https://dxdy-04.korotkov.co.uk/f/3/2/7/327c36301dc71617dc7032f8ce30b23682.png)
. Во-первых, это совсем не похоже на ваши
![$\pm 2\pm 3$ $\pm 2\pm 3$](https://dxdy-03.korotkov.co.uk/f/a/0/8/a08a8144d7f0ee602ce50599e0688c6f82.png)
и
![$\pm 3\pm 4$ $\pm 3\pm 4$](https://dxdy-03.korotkov.co.uk/f/2/6/d/26dd4134fc36f218a2b4807e2fb0c37882.png)
. Во-вторых, ни одно из этих четырёх целых чисел не является корнем кубического уравнения и даже не близко к нему.
Может ли этот метод конкурировать с методом Кардано?
Прежде чем конкурировать, нужно исправить все ошибки и убедиться, что действительно получается хотя бы один из корней кубического уравнения. Учтите, что корни кубического уравнения могут быть иррациональными, не выражающимися через квадратные корни. Например, у уравнения
![$x^3-3x+1=0$ $x^3-3x+1=0$](https://dxdy-01.korotkov.co.uk/f/0/9/7/097b564457a85c3624c4b4eac4aa4c6582.png)
такие корни. Поэтому ваша идея выглядит более чем сомнительной.