Решение кубических ур. без использования комплексных чисел

[cheslav]

Решение кубических уравнений без использования
комплексных чисел.

Опишем метод решения в целых числах произвольного уравнения 2-й степени с двумя неизвестными (метод выделения полных квадратов по Лагранжу).
Общее уравнение 2-й степени с двумя неизвестным

$$au^2 + buv + cv^2 + du + ev + f = 0, \eqno(1)$$

может быть приведено к виду (2),

$$x^2 + Ay^2=B, \eqno(2)$$

где

$$A=b^2-4ac\ne0 \eqno(3)$$

$$B=(bd-2ae)^2-(b^2-4ac)(d^2-4af).$$

при этом

$$x=(b^2-4ac)v+bd-2ae, \eqno(4)$$

$$y=2au+bv+d. \eqno(5)$$

Таким образом,любое решение $(u,v)$ уравнения (1) находится
по формулам:

$$u=-bx+(b^2-4ac)y-2a(be-2dc),2a(b^2-4ac),$$

$$v=x-bd+2ae, b^2-4ac,$$

где $(x,y)$ - решения уравнения (2).

Если в (2) взять $x=1-y\sqrt{A}$,то

$$y=-(B-1)/2\sqrt{A}, x=1+(B-1)/2,$$

найденные $x$ и $y$ подставить в (4) и (5),то получится (6):

$$(b^2-4ac)v+bd-2ae-1+(2au+bv+d)\sqrt{A}=0. \eqno(6)$$

Теперь, если в (1) и (6) взять $u = v^2$, то получается (7) и (8)

$$av^4+bv^3+cv^2+dv^2+ev+f=0, \eqno(7)$$

$$v^2+((b\sqrt{A}+b-4ac)/2a\sqrt{A})v+(d\sqrt{A}-1+bd-2ae)/2a\sqrt{A}=0. \eqno(8)$$

Очевидно,что некоторые корни (8) будут решениями и для (7).
Таким образом,эти выражения являются методом решения уравнений третьей и четвёртой степени.
Если приведённое уравнение третьей степени домножить на $x$:

$$x^4-px^2+qx=0$$

,то для (8) $a=1,b=0,c=p,d=0,e=q$

$$\pm4\sqrt{p}x^2+4px+1+2q=0,$$

$$x=\pm\sqrt{p}/2\pm\sqrt{p/4\pm(1+2q)/2\sqrt{p}}\eqno(9)$$

Например.
1.Уравнение:

$$x^3-19x+30=0.$$

Из формулы (9):

$$ x=\pm\sqrt{19}/2\pm\sqrt{19/4\pm(1+2\cdot30)/2\sqrt{19}}$$

$$x=\pm2\pm3=\pm1,\pm5. $$

$$(x+5)(x^2-5x+6)=0$$

2.Уравнение:

$$x^3-43x+42=0.$$

Из формулы (9);

$$ x=\pm\sqrt{43}\pm\sqrt{43/4\pm(1+2\cdot42)/2\sqrt{43}}$$

$$x=\pm3\pm4=\pm1,\pm7,$$

$$(x+7)(x^2-7x+6)=0$$

Может ли этот метод конкурировать с методом Кардано?
Хотелось бы услышать мнение тех,кто с ним работает.

[nnosipov]

cheslav в сообщении #1535903 писал(а):

Может ли этот метод конкурировать с методом Кардано?

У Вас опять какой-то мутный текст. Вот написано:

cheslav в сообщении #1535903 писал(а):

$$ x=\pm\sqrt{19}/2\pm\sqrt{19/4\pm(1+2\cdot30)/2\sqrt{19}}$$

И далее следует:

cheslav в сообщении #1535903 писал(а):

$$x=\pm2\pm3=\pm1,\pm5. $$

И как это понимать? Как Вы решаете уравнение $x^3-19x+30=0$, совершенно непонятно, какие-то танцы с бубнами.

[Pphantom]

(Оффтоп)

cheslav в сообщении #1535903 писал(а):

Может ли этот метод конкурировать с методом Кардано?
Хотелось бы услышать мнение тех,кто с ним работает.

В 2021 году, пожалуй, сначала стоит найти кого-нибудь, кто "работает с методом Кардано".

[nnosipov]

Pphantom в сообщении #1535919 писал(а):

(Оффтоп)

cheslav в сообщении #1535903 писал(а):

Может ли этот метод конкурировать с методом Кардано?
Хотелось бы услышать мнение тех,кто с ним работает.

В 2021 году, пожалуй, сначала стоит найти кого-нибудь, кто "работает с методом Кардано".

(Оффтоп)

Я "работал с методом Кардано" в 2020 году Доказал этим методом, что многочлен $x^3-x^2-x-1$ имеет единственный корень в поле $\mathbb{F}_p$ для любого простого $p \equiv -1 \pmod{33}$. Пустячок, а приятно

[Лукомор]

cheslav в сообщении #1535903 писал(а):

Если в (2) взять $x=1-y\sqrt{A}$, то

$y=-(B-1)/2\sqrt{A}, \qquad x=1+(B-1)/2,$

Распишите эту подстановку подробно.
Здесь какая-то ошибка.

[cheslav]

nnosipov в сообщении #1535913 писал(а):

И далее следует:cheslav в сообщении #1535903

писал(а):

$$x=\pm2\pm3=\pm1,\pm5. $$

И как это понимать? Как Вы решаете уравнение $x^3-19x+30=0$,

$$\sqrt{19}/2\approx\pm2,18\approx\pm2$$

$$\pm\sqrt{19/4\pm(1+60)/2\cdot\sqrt{19}}\approx$ \approx\pm3.43\approx\pm3$$

$$x=\sqrt{19}/2\pm \sqrt{19/4\pm(1+60)/2\cdot\sqrt{19}}\approx$ \approx\pm2\pm3.$$

$$x=\pm1,\pm5$$

Подстановкой определяется,что из этих корней подходит $x=-5$.

-- 27.10.2021, 16:46 --

Pphantom в сообщении #1535919 писал(а):

(Оффтоп)

cheslav в сообщении #1535903 писал(а):

Может ли этот метод конкурировать с методом Кардано?
Хотелось бы услышать мнение тех,кто с ним работает.

В 2021 году, пожалуй, сначала стоит найти кого-нибудь, кто "работает с методом Кардано".

Большинство онлайн калькуляторов пишут,что для решения уравнений третьей степени используют формулу Кардано (Виета-Кардано).

[nnosipov]

А не проще ли тогда взять и угадать весь корень $x=-5$ целиком? На шаманство какое-то смахивает.

[Лукомор]

cheslav в сообщении #1535903 писал(а):

Если приведённое уравнение третьей степени домножить на $x$:

$$x^4-px^2+qx=0$$

,то для (8) $a=1,b=0,c=p,d=0,e=q$

Здесь не правильно.
Не для $c=p$, а для $c+d = -p$.
Так будет спокойнее...

[Someone]

cheslav в сообщении #1535903 писал(а):

Теперь, если в (1) и (6) взять $u = v^2$, то получается (7) и (8)

$$av^4+bv^3+cv^2+dv^2+ev+f=0, \eqno(7)$$

$$v^2+((b\sqrt{A}+b-4ac)/2a\sqrt{A})v+(d\sqrt{A}-1+bd-2ae)/2a\sqrt{A}=0. \eqno(8)$$

Очевидно,что некоторые корни (8) будут решениями и для (7).
Таким образом,эти выражения являются методом решения уравнений третьей и четвёртой степени.
Если приведённое уравнение третьей степени домножить на $x$:

$$x^4-px^2+qx=0$$

,то для (8) $a=1,b=0,c=p,d=0,e=q$

$$\pm4\sqrt{p}x^2+4px+1+2q=0,$$

$$x=\pm\sqrt{p}/2\pm\sqrt{p/4\pm(1+2q)/2\sqrt{p}}\eqno(9)$$

Во-первых, формула для корней квадратного уравнения у Вас написана с ошибкой: в подкоренном выражении знаменатель второй дроби должен быть равен $4\sqrt{p}$.
Во-вторых, запись четырёх корней с тремя знаками "$\pm$" является невразумительной, и, возможно, Вы в ней запутались.

cheslav в сообщении #1535903 писал(а):

Например.
1.Уравнение:

$$x^3-19x+30=0.$$

Из формулы (9):

$$ x=\pm\sqrt{19}/2\pm\sqrt{19/4\pm(1+2\cdot30)/2\sqrt{19}}$$

$$x=\pm2\pm3=\pm1,\pm5. $$

$$(x+5)(x^2-5x+6)=0$$

2.Уравнение:

$$x^3-43x+42=0.$$

Из формулы (9);

$$ x=\pm\sqrt{43}\pm\sqrt{43/4\pm(1+2\cdot42)/2\sqrt{43}}$$

$$x=\pm3\pm4=\pm1,\pm7,$$

$$(x+7)(x^2-7x+6)=0$$

Я, конечно, рассмотрел собственный пример:

$$x^3-27x+44=0.$$

В соответствии с вашими обозначениями, здесь $p=27$, $q=44$, и мы получаем два квадратных уравнения:

$$\left[\begin{aligned}12\sqrt{3}x^2+108x+89=0,\\-12\sqrt{3}x^2+108x+89=0.\end{aligned}\right.$$

Первое из них имеет корни $\frac 16\left(-9\sqrt{3}-\sqrt{243-89\sqrt{3}}\right)\approx-4.16906$ и $\frac 16\left(-9\sqrt{3}+\sqrt{243-89\sqrt{3}}\right)\approx-1.02709$.
Второе имеет корни $\frac 16\left(-9\sqrt{3}-\sqrt{243+89\sqrt{3}}\right)\approx-0.723371$ и $\frac 16\left(-9\sqrt{3}+\sqrt{243+89\sqrt{3}}\right)\approx 5.91952$.
Ну и какой из этих корней является корнем исходного кубического уравнения? Оно имеет такие корни: $4$, $-2-\sqrt{15}\approx-5.87298$ и $-2+\sqrt{15}\approx 1.87298$.
Кстати, в ваших примерах, вопреки утверждению "очевидно, что некоторые корни (8) будут решениями и для (7)", тоже ни один из корней квадратного уравнения не является корнем кубического уравнения. В обоих примерах корни квадратного уравнения иррациональные, а корни обоих кубических уравнений у Вас целые.
Ладно, я мог бы предположить, что Вы эти иррациональные корни округлили до целых (я ваши вычисления пока не проверял, но ошибка в формуле у Вас есть, о чём я уже писал). Однако если в моём примере округлить корни квадратных уравнений до целых, то получатся числа $-4$, $-1$, $-1$, $6$. Во-первых, это совсем не похоже на ваши $\pm 2\pm 3$ и $\pm 3\pm 4$. Во-вторых, ни одно из этих четырёх целых чисел не является корнем кубического уравнения и даже не близко к нему.

cheslav в сообщении #1535903 писал(а):

Может ли этот метод конкурировать с методом Кардано?

Прежде чем конкурировать, нужно исправить все ошибки и убедиться, что действительно получается хотя бы один из корней кубического уравнения. Учтите, что корни кубического уравнения могут быть иррациональными, не выражающимися через квадратные корни. Например, у уравнения $x^3-3x+1=0$ такие корни. Поэтому ваша идея выглядит более чем сомнительной.

[Dmitriy40]

Someone в сообщении #1536588 писал(а):

Учтите, что корни кубического уравнения могут быть иррациональными, не выражающимися через квадратные корни. Например, у уравнения $x^3-3x+1=0$ такие корни.

Думаю скажет что такие уравнения отбрасываются так как не имеют целочисленных корней (проверит прямой подстановкой всех своих насчитанных вариантов).

cheslav
Мне вот другое интересно: тема заявлена как "без использования комплексных чисел", но как тогда решать уравнение $x^3+19x+46$, имеющее целый корень $x=-2$, ведь в нём $p=-19$ и корень $\sqrt{p}=\sqrt{-19}$ в ваших формулах непонятно как извлекать?

[Лукомор]

cheslav в сообщении #1535903 писал(а):

то для (8) $a=1,b=0,c=p,d=0,e=q$

Вообще-то, $c=p, d=0$ - это - произвол.
Почему не $c=0, d=p$, почему не $c=p/2, d=p/2$?
У Вас же и $c$, и $d$ - это коэффициенты при $v^2$.
К тому же это не верно.
Я бы еще понял $c=p, d= -2p$, или $c=-p, d=0$, но так, как у вас - это ни в какие ворота...

-- Чт окт 28, 2021 07:32:03 --

cheslav в сообщении #1535903 писал(а):

Очевидно,что некоторые корни (8) будут решениями и для (7).

Очевидно, что в формулу (8) не входит свободный член $f$.
Поэтому всегда можно подставить такое значение $f$ в уравнение (7),
при котором ни один корень уравнения (8) не будет решением для уравнения (7).
И эти два уравнения никак между собой не связаны.

[Someone]

Dmitriy40 в сообщении #1536614 писал(а):

Думаю скажет что такие уравнения отбрасываются так как не имеют целочисленных корней (проверит прямой подстановкой всех своих насчитанных вариантов).

В стартовом сообщении и в последующем тексте ничего о целых корнях не говорится. Кроме того, его "проверка" совершенно недостаточна, поскольку наверняка часто промахивается. Более того, предлагается чисто алгебраический метод, для которого целочисленность не существенна.

С другой стороны, метод подбора целочисленных корней многочленов хорошо известен. В частности, известно, среди каких чисел он может быть и среди каких не может.

[Dmitriy40]

Someone в сообщении #1536712 писал(а):

В стартовом сообщении и в последующем тексте ничего о целых корнях не говорится.

Ну как же:

cheslav в сообщении #1535903 писал(а):

Опишем метод решения в целых числах произвольного уравнения 2-й степени с двумя неизвестными (метод выделения полных квадратов по Лагранжу).
[...]
Очевидно,что некоторые корни (8) будут решениями и для (7).
Таким образом,эти выражения являются методом решения уравнений третьей и четвёртой степени.

Т.е. при выводе формул изначально используется факт целочисленности корней. Разве не? Ну и примеры там же показывают целые корни.

В общем ИМХО это что-то левое и не отвечающее заявленному.

[cheslav]

Dmitriy40 в сообщении #1536614 писал(а):

cheslav
Мне вот другое интересно: тема заявлена как "без использования комплексных чисел", но как тогда решать уравнение $x^3+19x+46$, имеющее целый корень $x=-2$, ведь в нём $p=-19$ и корень $\sqrt{p}=\sqrt{-19}$ в ваших формулах непонятно как извлекать?

В заголовке не хватило места для "уравнений третьей степени с отрицательным дискриминантом".В вашем примере дискриминант положительный и уравнение решается без комплексных чисел в третьей степени.

-- 28.10.2021, 18:42 --

cheslav в сообщении #1535903 писал(а):

Вообще-то, $c=p, d=0$ - это - произвол.
Почему не $c=0, d=p$, почему не $c=p/2, d=p/2$?

При $c=0$ и $b=0$ почти всё в ноль обрашается.
При других $c$ b $d$ опять уравнение третьей степени.
Только при $d=0$ для $x$ получается уравнение второй степени.
Этот выбор обусловлен стремлением получить более лёгкое выражение.Это вынужденный произвол.

[Someone]

Dmitriy40 в сообщении #1536735 писал(а):

Т.е. при выводе формул изначально используется факт целочисленности корней. Разве не? Ну и примеры там же показывают целые корни.

Вы проверяли? Там иррациональные корни, которые автор внаглую округляет до целых. Вдобавок, неправильно решается квадратное уравнение (ошибка в формуле). При использовании выписанной формулы автор не учитывает, что три знака "$\pm$" в его формуле не являются независимыми, поэтому ничего похожего на $\pm 2\pm 3$ не получается.

Где автор использует факт целочисленности корней, я не заметил (но особо и не разбирался). По-моему, он просто воспользовался подстановками, применяемыми для приведения исходного уравнения к некоторому каноническому виду.

Я же добросовестно просчитал свой пример, там никаких целых корней не получается. И даже ничего близкого к корням кубического уравнения не получается.

В общем, пусть автор исправляет ошибки и пишет аккуратный вменяемый текст, учитывая замечания, сделанные разными участниками обсуждения.

cheslav в сообщении #1536750 писал(а):

В заголовке не хватило места для "уравнений третьей степени с отрицательным дискриминантом".

Если записывать приведённое кубическое уравнение как у Вас ($x^3-px+q=0$), то нужно, наверное, написать "с положительным $p$". Потому что я не вижу, почему в вашем "методе" играет роль знак дискриминанта. Зато хорошо видно, почему нужно положительное $p$. Впрочем, это ваша задача: проанализировать область применения вашего метода.

Последнее замечание: если речь идёт о целых корнях, то это интересно только в том случае, если хотя бы один из четырёх корней (или двух, как в вашем первом примере, где у одного из двух квадратных уравнений отрицательный дискриминант) действительно является целым и точно совпадает с одним из корней кубического уравнения. Без всякого "округления" на неизвестную величину. Поскольку метод подбора рациональных корней многочленов с целыми коэффициентами и без Вас хорошо известен, и я школьников этому методу обучаю.