Нахождение предела последовательности

[vpb]

ElRomcho в сообщении #1536248 писал(а):

Спасибо! Попробую

Пожалуйста. Можете потом даже написать сюда решение, если не лень.

[Flood]

Еще одно предложение. Есть неравенство между $n!$ и $(n/3)^n$ которое можно доказать методом математической индукции. Возможно, тут поможет.

[mihiv]

Можно еще применить неравенство между средним геометрическим и средним арифметическим:

$$\sqrt [n] {n!}\leqslant \dfrac {1+\dots +n}n$$

[zykov]

Только оценка для факториала нужна снизу, а не сверху.

[mihiv]

Да, действительно.

[zykov]

Снизу можно было бы через среднее гармоническое, но там сумма неудобоваримая (её саму через интеграл оценивать надо).

[TOTAL]

$$S_n = \frac{n^n}{{(n!)}^a}, \;\; S_{n+1} / S_n = ?$$

[Nemiroff]

Если бы $a$ было бы больше двух, можно было бы сделать так $n!\geqslant \frac n2\cdot \left(\frac n2 +1\right) \cdot\ldots\cdot n \geqslant \frac n2 \cdot\frac n2 \cdot\ldots\cdot \frac n2 \geqslant \left(\frac n2\right)^{n/2}$.

Помогло бы это? А обобщить на $a>1$ смогли бы?

[ewert]

TOTAL в сообщении #1536287 писал(а):

$$S_n = \frac{n^n}{{(n!)}^a}, \;\; S_{n+1} / S_n = ?$$

Естественно, ровно так и надо. Не требуется ничего, кроме определения числа $e$.

Только это обычно в связи с пределами не рассказывают (стандартен такой приём уже позже -- для рядов).

[RIP]

Для $a>1$ проще так, как предложил Nemiroff. Даже про число $e$ знать не нужно.

(Оффтоп)

Если число $e$ известно, то тогда уж нужно сразу доказывать неравенства типа $e\left(\frac{n}{e}\right)^n\leqslant n!\leqslant en\left(\frac{n}{e}\right)^n$.

[zykov]

RIP в сообщении #1536547 писал(а):

Для $a>1$ проще так, как предложил Nemiroff.

Так у него для $a>2$. Для $1<a\leq 2$ не работает.

[maxmatem]

Цитата:

zykov
По-моему, даже в физматшколе интегрировать $\int \ln x\,dx$ по частям не учат.

учат, учат. не такое это и сложное интегрирование, чтобы матшкольники его не осилили.

[RIP]

zykov в сообщении #1536550 писал(а):

Так у него для $a>2$. Для $1<a\leq 2$ не работает.

Для $a\leqslant2$ там предлагается подумать. Скажем, можно ещё так: $n!\geqslant(n/3)^{2n/3}$.