2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки


Правила форума


Посмотреть правила форума



Начать новую тему Ответить на тему На страницу Пред.  1, 2
 
 Re: Нахождение предела последовательности
Сообщение24.10.2021, 23:51 
Заслуженный участник


18/01/15
3075
ElRomcho в сообщении #1536248 писал(а):
Спасибо! Попробую
Пожалуйста. Можете потом даже написать сюда решение, если не лень.

 Профиль  
                  
 
 Re: Нахождение предела последовательности
Сообщение25.10.2021, 07:15 


11/01/21
29
Еще одно предложение. Есть неравенство между $n!$ и $(n/3)^n$ которое можно доказать методом математической индукции. Возможно, тут поможет.

 Профиль  
                  
 
 Re: Нахождение предела последовательности
Сообщение25.10.2021, 10:43 
Заслуженный участник


03/01/09
1677
москва
Можно еще применить неравенство между средним геометрическим и средним арифметическим:$$\sqrt [n] {n!}\leqslant \dfrac {1+\dots +n}n$$

 Профиль  
                  
 
 Re: Нахождение предела последовательности
Сообщение25.10.2021, 11:52 


18/09/21
1676
Только оценка для факториала нужна снизу, а не сверху.

 Профиль  
                  
 
 Re: Нахождение предела последовательности
Сообщение25.10.2021, 12:20 
Заслуженный участник


03/01/09
1677
москва
Да, действительно.

 Профиль  
                  
 
 Re: Нахождение предела последовательности
Сообщение25.10.2021, 12:26 


18/09/21
1676
Снизу можно было бы через среднее гармоническое, но там сумма неудобоваримая (её саму через интеграл оценивать надо).

 Профиль  
                  
 
 Re: Нахождение предела последовательности
Сообщение25.10.2021, 12:41 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


23/08/07
5420
Нов-ск
$$S_n = \frac{n^n}{{(n!)}^a}, \;\; S_{n+1} / S_n = ?$$

 Профиль  
                  
 
 Re: Нахождение предела последовательности
Сообщение25.10.2021, 13:31 
Заслуженный участник


20/07/09
4026
МФТИ ФУПМ
Если бы $a$ было бы больше двух, можно было бы сделать так $n!\geqslant \frac n2\cdot \left(\frac n2 +1\right) \cdot\ldots\cdot n \geqslant \frac n2 \cdot\frac n2 \cdot\ldots\cdot \frac n2 \geqslant \left(\frac n2\right)^{n/2}$.

Помогло бы это? А обобщить на $a>1$ смогли бы?

 Профиль  
                  
 
 Re: Нахождение предела последовательности
Сообщение27.10.2021, 09:21 
Заслуженный участник


11/05/08
32166
TOTAL в сообщении #1536287 писал(а):
$$S_n = \frac{n^n}{{(n!)}^a}, \;\; S_{n+1} / S_n = ?$$

Естественно, ровно так и надо. Не требуется ничего, кроме определения числа $e$.

Только это обычно в связи с пределами не рассказывают (стандартен такой приём уже позже -- для рядов).

 Профиль  
                  
 
 Re: Нахождение предела последовательности
Сообщение27.10.2021, 15:03 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


11/01/06
3822
Для $a>1$ проще так, как предложил Nemiroff. Даже про число $e$ знать не нужно.

(Оффтоп)

Если число $e$ известно, то тогда уж нужно сразу доказывать неравенства типа $e\left(\frac{n}{e}\right)^n\leqslant n!\leqslant en\left(\frac{n}{e}\right)^n$.

 Профиль  
                  
 
 Re: Нахождение предела последовательности
Сообщение27.10.2021, 15:12 


18/09/21
1676
RIP в сообщении #1536547 писал(а):
Для $a>1$ проще так, как предложил Nemiroff.
Так у него для $a>2$. Для $1<a\leq 2$ не работает.

 Профиль  
                  
 
 Re: Нахождение предела последовательности
Сообщение27.10.2021, 17:08 
Аватара пользователя


15/08/09
1458
МГУ
Цитата:
zykov
По-моему, даже в физматшколе интегрировать $\int \ln x\,dx$ по частям не учат.


учат, учат. не такое это и сложное интегрирование, чтобы матшкольники его не осилили.

 Профиль  
                  
 
 Re: Нахождение предела последовательности
Сообщение27.10.2021, 17:28 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


11/01/06
3822
zykov в сообщении #1536550 писал(а):
Так у него для $a>2$. Для $1<a\leq 2$ не работает.
Для $a\leqslant2$ там предлагается подумать. Скажем, можно ещё так: $n!\geqslant(n/3)^{2n/3}$.

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 28 ]  На страницу Пред.  1, 2

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group