2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки




На страницу Пред.  1, 2
 
 Re: Нахождение предела последовательности
Сообщение24.10.2021, 23:51 
ElRomcho в сообщении #1536248 писал(а):
Спасибо! Попробую
Пожалуйста. Можете потом даже написать сюда решение, если не лень.

 
 
 
 Re: Нахождение предела последовательности
Сообщение25.10.2021, 07:15 
Еще одно предложение. Есть неравенство между $n!$ и $(n/3)^n$ которое можно доказать методом математической индукции. Возможно, тут поможет.

 
 
 
 Re: Нахождение предела последовательности
Сообщение25.10.2021, 10:43 
Можно еще применить неравенство между средним геометрическим и средним арифметическим:$$\sqrt [n] {n!}\leqslant \dfrac {1+\dots +n}n$$

 
 
 
 Re: Нахождение предела последовательности
Сообщение25.10.2021, 11:52 
Только оценка для факториала нужна снизу, а не сверху.

 
 
 
 Re: Нахождение предела последовательности
Сообщение25.10.2021, 12:20 
Да, действительно.

 
 
 
 Re: Нахождение предела последовательности
Сообщение25.10.2021, 12:26 
Снизу можно было бы через среднее гармоническое, но там сумма неудобоваримая (её саму через интеграл оценивать надо).

 
 
 
 Re: Нахождение предела последовательности
Сообщение25.10.2021, 12:41 
Аватара пользователя
$$S_n = \frac{n^n}{{(n!)}^a}, \;\; S_{n+1} / S_n = ?$$

 
 
 
 Re: Нахождение предела последовательности
Сообщение25.10.2021, 13:31 
Если бы $a$ было бы больше двух, можно было бы сделать так $n!\geqslant \frac n2\cdot \left(\frac n2 +1\right) \cdot\ldots\cdot n \geqslant \frac n2 \cdot\frac n2 \cdot\ldots\cdot \frac n2 \geqslant \left(\frac n2\right)^{n/2}$.

Помогло бы это? А обобщить на $a>1$ смогли бы?

 
 
 
 Re: Нахождение предела последовательности
Сообщение27.10.2021, 09:21 
TOTAL в сообщении #1536287 писал(а):
$$S_n = \frac{n^n}{{(n!)}^a}, \;\; S_{n+1} / S_n = ?$$

Естественно, ровно так и надо. Не требуется ничего, кроме определения числа $e$.

Только это обычно в связи с пределами не рассказывают (стандартен такой приём уже позже -- для рядов).

 
 
 
 Re: Нахождение предела последовательности
Сообщение27.10.2021, 15:03 
Аватара пользователя
Для $a>1$ проще так, как предложил Nemiroff. Даже про число $e$ знать не нужно.

(Оффтоп)

Если число $e$ известно, то тогда уж нужно сразу доказывать неравенства типа $e\left(\frac{n}{e}\right)^n\leqslant n!\leqslant en\left(\frac{n}{e}\right)^n$.

 
 
 
 Re: Нахождение предела последовательности
Сообщение27.10.2021, 15:12 
RIP в сообщении #1536547 писал(а):
Для $a>1$ проще так, как предложил Nemiroff.
Так у него для $a>2$. Для $1<a\leq 2$ не работает.

 
 
 
 Re: Нахождение предела последовательности
Сообщение27.10.2021, 17:08 
Аватара пользователя
Цитата:
zykov
По-моему, даже в физматшколе интегрировать $\int \ln x\,dx$ по частям не учат.


учат, учат. не такое это и сложное интегрирование, чтобы матшкольники его не осилили.

 
 
 
 Re: Нахождение предела последовательности
Сообщение27.10.2021, 17:28 
Аватара пользователя
zykov в сообщении #1536550 писал(а):
Так у него для $a>2$. Для $1<a\leq 2$ не работает.
Для $a\leqslant2$ там предлагается подумать. Скажем, можно ещё так: $n!\geqslant(n/3)^{2n/3}$.

 
 
 [ Сообщений: 28 ]  На страницу Пред.  1, 2


Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group