2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки


Правила форума


Посмотреть правила форума



Начать новую тему Ответить на тему На страницу 1, 2  След.
 
 Странное поведение комплексных корней
Сообщение26.10.2021, 23:52 
Аватара пользователя


05/11/11
91
Задача: $\sqrt{-5} \cdot \sqrt{-2}$.

Первый вариант решения: $\sqrt{-5} \cdot \sqrt{-2} = \sqrt{-5 \cdot (-2)} = \sqrt{10}$.

Второй вариант решения: $\sqrt{-5} \cdot \sqrt{-2} = i \sqrt{5} \cdot i \sqrt{2} = i^2 \cdot \sqrt{5} \cdot \sqrt{2}= -\sqrt{10}$.

Помогите разобраться, где правда, и какое правило нарушено в неверном решении.

 Профиль  
                  
 
 Re: Странное поведение комплексных корней
Сообщение26.10.2021, 23:59 
Заслуженный участник


09/05/13
8904
Комплексных корней второй степени два, а не один. Посчитайте все, противоречия исчезнут. Должны исчезнуть )
А формул типа корень произведения равен произведению корней нет в ТФКП. Легко сочинить контрпример.

 Профиль  
                  
 
 Re: Странное поведение комплексных корней
Сообщение27.10.2021, 02:44 


18/09/21
1676
Верно.
Комплексный корень $\sqrt{-2}$ имеет два значения $\pm i \sqrt 2$.
Аналогично для $\sqrt{-5}$, при этом плюс и минус могут совпадать, а могут и не совпадать.

$(\sqrt{10})^2=10$
$(-\sqrt{10})^2=10$
Так что всё сходится.

 Профиль  
                  
 
 Re: Странное поведение комплексных корней
Сообщение27.10.2021, 09:00 
Аватара пользователя


11/12/16
13195
уездный город Н
Видимо, стоит отметить, что если под
$\sqrt{a}$ понимать не корень уравнения $x^2=a$, а арифметический корень, то оба варианта решения неверные.

 Профиль  
                  
 
 Re: Странное поведение комплексных корней
Сообщение27.10.2021, 12:38 
Аватара пользователя


01/11/14
1647
Principality of Galilee
EUgeneUS в сообщении #1536523 писал(а):
если под $\sqrt{a}$ понимать не корень уравнения $x^2=a$, а арифметический корень
Арифметический корень из комплексного числа?

 Профиль  
                  
 
 Re: Странное поведение комплексных корней
Сообщение27.10.2021, 13:38 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


26/01/14
4608
Gagarin1968 в сообщении #1536533 писал(а):
Арифметический корень из комплексного числа?
Тут под корнями не комплексные числа, а отрицательные. EUgeneUS имел в виду, что арифметический квадратный корень из отрицательного числа не существует, и вот именно поэтому
EUgeneUS в сообщении #1536523 писал(а):
если под $\sqrt{a}$ понимать не корень уравнения $x^2=a$, а арифметический корень, то оба варианта решения неверные.

 Профиль  
                  
 
 Re: Странное поведение комплексных корней
Сообщение27.10.2021, 14:21 
Заслуженный участник


16/02/13
4105
Владивосток
EUgeneUS в сообщении #1536523 писал(а):
если под $\sqrt{a}$ понимать не корень уравнения $x^2=a$, а арифметический корень
... то правильным решением будет «приведённое выражение не существует». Вы это серьёзно? Вот прям совсем-совсем серьёзно? Анекдот про Холмса с Ватсоном на воздушном шаре не напоминает?

 Профиль  
                  
 
 Re: Странное поведение комплексных корней
Сообщение27.10.2021, 14:29 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


26/01/14
4608
iifat в сообщении #1536542 писал(а):
Вы это серьёзно? Вот прям совсем-совсем серьёзно?
Совершенно серьёзно.

Здесь дело в том, что обозначение $\sqrt{}$ в школьной алгебре (и не только в ней) практически всегда понимается именно как арифметический квадратный корень. Во всяком случае, если не оговорено обратное.

ТС в начале темы приводит рассуждения, ведущие к противоречию, и спрашивает, в чём ошибка. Так как он не уточняет смысла обозначения $\sqrt{}$, по умолчанию следует думать, что он имеет в виду именно арифметический квадратный корень. В таком случае, верный ответ на вопрос ТС: ошибка в том, что арифметический корень из отрицательного числа не существует.

 Профиль  
                  
 
 Re: Странное поведение комплексных корней
Сообщение27.10.2021, 14:34 


18/09/21
1676
Mikhail_K в сообщении #1536545 писал(а):
практически всегда понимается именно как арифметический квадратный корень. Во всяком случае, если не оговорено обратное.
Как-то надуманно.
Mikhail_K в сообщении #1536545 писал(а):
по умолчанию следует думать, что он имеет в виду именно арифметический квадратный корень
ТС ниже написал, что $\sqrt{-2}=i\sqrt 2$. Значит это комплексный корень. Ошибка в том, что там плюс-минус должен быть.

 Профиль  
                  
 
 Re: Странное поведение комплексных корней
Сообщение27.10.2021, 17:12 
Аватара пользователя


11/12/16
13195
уездный город Н
iifat в сообщении #1536542 писал(а):
о правильным решением будет «приведённое выражение не существует». Вы это серьёзно?


Совершенно серьезно.
Если бы ТС под $\sqrt{a}$ понимал не арифметический квадратный корень, а решение уравнения $x ^2 = a$, то и вопроса бы никакого не возникло.
Так как в этом смысле $\sqrt{10}$ и $-\sqrt{10}$ - это одно и то же, с точностью до сортировки множества из двух элементов.

Если бы ТС $\sqrt{a}$ понимал, как арифметический квадратный корень, то опять вопроса бы не возникло, так как арифметический квадратный корень из отрицательных чисел не существует.

А раз вопрос возник, то делаем вывод, что под $\sqrt{a}$ ТС понимает то одно, то другое, а по середине была рыба завернута.

-- 27.10.2021, 17:28 --

zykov в сообщении #1536546 писал(а):
Ошибка в том, что там плюс-минус должен быть.


А вот и нет :mrgreen:
Если записать так:
$\sqrt{-2} = \pm i \sqrt{2}$
То как раз и получается, что слева - решение уравнения $x^2 = -2$ (так как это не может быть арифметическим корнем, иначе нельзя написать знак "равно"), а слева именно арифметический корень, так как написали $\pm$ (это означает, что в этом случае корень всегда положительный, а значит это - арифметический корень). И как результат - по середине завернули рыбу.

 Профиль  
                  
 
 Re: Странное поведение комплексных корней
Сообщение28.10.2021, 01:54 


12/08/21

219
Otta в сообщении #1536503 писал(а):
А формул типа корень произведения равен произведению корней нет в ТФКП.

Вроде в ТФКП формула $(ab)^c=a^c \cdot b^c$ верна, неверна другая - $a^{b+c}=a^b \cdot a^c$. Для нее легко построить контрпример даже в вещественных числах $5=\sqrt{5} \cdot \sqrt{5}=\sqrt{5} \cdot (-\sqrt{5})=-5$

 Профиль  
                  
 
 Re: Странное поведение комплексных корней
Сообщение28.10.2021, 02:32 
Заслуженный участник


09/05/13
8904
Markus228
Да, Вы правы. Перепутались )

Тут уже много написали по поводу исходного запроса, вряд ли я напишу что-то новое. Но каждый раз при проверке равенства выражения с корнями проверяется равенство наборов значений этих корней. Тут ($\sqrt{-5} \cdot \sqrt{-2}$ и $ \sqrt{-5 \cdot (-2)}$ эти наборы одинаковы. Корень из 10 только одно из значений в наборе.

 Профиль  
                  
 
 Re: Странное поведение комплексных корней
Сообщение28.10.2021, 04:09 
Заслуженный участник


16/02/13
4105
Владивосток
EUgeneUS в сообщении #1536560 писал(а):
Если записать так
Именно так, насколько я помню, и пишется. И да, слева и справа разные корни. И особого недопонимания не вызывает.

 Профиль  
                  
 
 Re: Странное поведение комплексных корней
Сообщение28.10.2021, 10:42 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


30/01/09
6591
Если кто-то что-то понял в обсуждаемом вопросе, пусть пояснит, как вычислить значение выражения $\operatorname{Ln}(-1)+\operatorname{Ln}(-1)$ ?

 Профиль  
                  
 
 Re: Странное поведение комплексных корней
Сообщение28.10.2021, 11:01 
Аватара пользователя


11/12/16
13195
уездный город Н
мат-ламер в сообщении #1536634 писал(а):
$\operatorname{Ln}(-1)+\operatorname{Ln}(-1)$


$=\operatorname{Ln}(1)$
я так думаю.

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 21 ]  На страницу 1, 2  След.

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group