Странное поведение комплексных корней

[qx87]

Задача: $\sqrt{-5} \cdot \sqrt{-2}$.

Первый вариант решения: $\sqrt{-5} \cdot \sqrt{-2} = \sqrt{-5 \cdot (-2)} = \sqrt{10}$.

Второй вариант решения: $\sqrt{-5} \cdot \sqrt{-2} = i \sqrt{5} \cdot i \sqrt{2} = i^2 \cdot \sqrt{5} \cdot \sqrt{2}= -\sqrt{10}$.

Помогите разобраться, где правда, и какое правило нарушено в неверном решении.

[Otta]

Комплексных корней второй степени два, а не один. Посчитайте все, противоречия исчезнут. Должны исчезнуть )
А формул типа корень произведения равен произведению корней нет в ТФКП. Легко сочинить контрпример.

[zykov]

Верно.
Комплексный корень $\sqrt{-2}$ имеет два значения $\pm i \sqrt 2$.
Аналогично для $\sqrt{-5}$, при этом плюс и минус могут совпадать, а могут и не совпадать.

$(\sqrt{10})^2=10$
$(-\sqrt{10})^2=10$
Так что всё сходится.

[EUgeneUS]

Видимо, стоит отметить, что если под
$\sqrt{a}$ понимать не корень уравнения $x^2=a$, а арифметический корень, то оба варианта решения неверные.

[Gagarin1968]

EUgeneUS в сообщении #1536523 писал(а):

если под $\sqrt{a}$ понимать не корень уравнения $x^2=a$, а арифметический корень

Арифметический корень из комплексного числа?

[Mikhail_K]

Gagarin1968 в сообщении #1536533 писал(а):

Арифметический корень из комплексного числа?

Тут под корнями не комплексные числа, а отрицательные. EUgeneUS имел в виду, что арифметический квадратный корень из отрицательного числа не существует, и вот именно поэтому

EUgeneUS в сообщении #1536523 писал(а):

если под $\sqrt{a}$ понимать не корень уравнения $x^2=a$, а арифметический корень, то оба варианта решения неверные.

[iifat]

EUgeneUS в сообщении #1536523 писал(а):

если под $\sqrt{a}$ понимать не корень уравнения $x^2=a$, а арифметический корень

... то правильным решением будет «приведённое выражение не существует». Вы это серьёзно? Вот прям совсем-совсем серьёзно? Анекдот про Холмса с Ватсоном на воздушном шаре не напоминает?

[Mikhail_K]

iifat в сообщении #1536542 писал(а):

Вы это серьёзно? Вот прям совсем-совсем серьёзно?

Совершенно серьёзно.

Здесь дело в том, что обозначение $\sqrt{}$ в школьной алгебре (и не только в ней) практически всегда понимается именно как арифметический квадратный корень. Во всяком случае, если не оговорено обратное.

ТС в начале темы приводит рассуждения, ведущие к противоречию, и спрашивает, в чём ошибка. Так как он не уточняет смысла обозначения $\sqrt{}$, по умолчанию следует думать, что он имеет в виду именно арифметический квадратный корень. В таком случае, верный ответ на вопрос ТС: ошибка в том, что арифметический корень из отрицательного числа не существует.

[zykov]

Mikhail_K в сообщении #1536545 писал(а):

практически всегда понимается именно как арифметический квадратный корень. Во всяком случае, если не оговорено обратное.

Как-то надуманно.

Mikhail_K в сообщении #1536545 писал(а):

по умолчанию следует думать, что он имеет в виду именно арифметический квадратный корень

ТС ниже написал, что $\sqrt{-2}=i\sqrt 2$. Значит это комплексный корень. Ошибка в том, что там плюс-минус должен быть.

[EUgeneUS]

iifat в сообщении #1536542 писал(а):

о правильным решением будет «приведённое выражение не существует». Вы это серьёзно?

Совершенно серьезно.
Если бы ТС под $\sqrt{a}$ понимал не арифметический квадратный корень, а решение уравнения $x ^2 = a$, то и вопроса бы никакого не возникло.
Так как в этом смысле $\sqrt{10}$ и $-\sqrt{10}$ - это одно и то же, с точностью до сортировки множества из двух элементов.

Если бы ТС $\sqrt{a}$ понимал, как арифметический квадратный корень, то опять вопроса бы не возникло, так как арифметический квадратный корень из отрицательных чисел не существует.

А раз вопрос возник, то делаем вывод, что под $\sqrt{a}$ ТС понимает то одно, то другое, а по середине была рыба завернута.

-- 27.10.2021, 17:28 --

zykov в сообщении #1536546 писал(а):

Ошибка в том, что там плюс-минус должен быть.

А вот и нет
Если записать так:
$\sqrt{-2} = \pm i \sqrt{2}$
То как раз и получается, что слева - решение уравнения $x^2 = -2$ (так как это не может быть арифметическим корнем, иначе нельзя написать знак "равно"), а слева именно арифметический корень, так как написали $\pm$ (это означает, что в этом случае корень всегда положительный, а значит это - арифметический корень). И как результат - по середине завернули рыбу.

[Markus228]

Otta в сообщении #1536503 писал(а):

А формул типа корень произведения равен произведению корней нет в ТФКП.

Вроде в ТФКП формула $(ab)^c=a^c \cdot b^c$ верна, неверна другая - $a^{b+c}=a^b \cdot a^c$. Для нее легко построить контрпример даже в вещественных числах $5=\sqrt{5} \cdot \sqrt{5}=\sqrt{5} \cdot (-\sqrt{5})=-5$

[Otta]

Markus228
Да, Вы правы. Перепутались )

Тут уже много написали по поводу исходного запроса, вряд ли я напишу что-то новое. Но каждый раз при проверке равенства выражения с корнями проверяется равенство наборов значений этих корней. Тут ($\sqrt{-5} \cdot \sqrt{-2}$ и $ \sqrt{-5 \cdot (-2)}$ эти наборы одинаковы. Корень из 10 только одно из значений в наборе.

[iifat]

EUgeneUS в сообщении #1536560 писал(а):

Если записать так

Именно так, насколько я помню, и пишется. И да, слева и справа разные корни. И особого недопонимания не вызывает.

[мат-ламер]

Если кто-то что-то понял в обсуждаемом вопросе, пусть пояснит, как вычислить значение выражения $\operatorname{Ln}(-1)+\operatorname{Ln}(-1)$ ?

[EUgeneUS]

мат-ламер в сообщении #1536634 писал(а):

$\operatorname{Ln}(-1)+\operatorname{Ln}(-1)$

$=\operatorname{Ln}(1)$
я так думаю.