Уравнение Каталана?

[Sonic86]

Я что-то не понял.
$3^y-2^x=1$ - уравнение Каталана, где надо доказать, что $y=1,2$, а других решений нет?

Тогда так:
Пусть $y \geq 3$, тогда $x \geq 4$. Тогда $3^y \mod 3^2 = 0, 2^x \mod 2^4 = 0$.
1. $3^y-2^x=1 \Rightarrow 2^x \equiv 1 (\mod 3^2) \Rightarrow x=6z$.
2. $3^y-2^x=1 \Rightarrow 3^y \equiv 1 (\mod 2^4) \Rightarrow y=4w$.
3. $x=6z, y=4w, 3^y-2^x=1 \Leftrightarrow 81^w-64^z=1 \Rightarrow $ $81^w-64^z \equiv 1 (\mod 5) \Leftrightarrow 1^w-(-1)^z \equiv 1 (\mod 5)$.
Противоречие.

И где я ошибся? Или это давно известно? Или я чушь пишу?

[Руст]

Ошибка здесь.

Sonic86 писал(а):

Я что-то не понял.
1. $3^y-2^x=1 \Rightarrow 2^x \equiv 1 (\mod 3^2) \Rightarrow x=6z$.

И где я ошибся? Или это давно известно? Или я чушь пишу?

[Sonic86]

Ага!
Тогда все равно:
$3^x-2^y=1$.
$x=1 \Rightarrow y=1$, $x=2 \Rightarrow y=3$.
$x \geq 3 \Rightarrow y \geq 4$.
$x \geq 3, y \geq 4 \Rightarrow 3^x \mod 3^3 = 0, 2^y \mod 2^4 = 0$.
$3^x-2^y=1 \Rightarrow 3^x \equiv 1 ( \mod 2^4) \Leftrightarrow x=4z$.
$3^x-2^y=1 \Rightarrow 2^y \equiv -1 ( \mod 3^3) \Leftrightarrow y=9+18w$.
Тогда $3^x-2^y=1 \Rightarrow 3^(4z)-2^(9+18w)=1$
$3^(4z)-2^(9+18w)=1 \Leftrightarrow 81^z - 512 \cdot 512^{2w} = 1$
$81-1=80=2^4 \cdot 5$. Берем по модулю 5:
$81^z - 512 \cdot 512^{2w} = 1 \Rightarrow 1^z - 2 \cdot 2^{2w} \equiv 1( \mod 5)$
$1^z - 2 \cdot 2^{2w} \equiv 1( \mod 5) \Leftrightarrow 2^{2w+1} \equiv 0 ( \mod 5)$.
Противоречие.

[Батороев]

Sonic86 писал(а):

Я что-то не понял.
$3^y-2^x=1$ - уравнение Каталана, где надо доказать, что $y=1,2$, а других решений нет?

Или это давно известно?

Эта часть гипотезы Каталана доказана еще Лео Гебракусом.

[Sonic86]

А! Ну теперь все понятно.

[maxal]

Батороев писал(а):

Эта часть гипотезы Каталана доказана еще Лео Гебракусом.

Немного не по теме, но в этой статье из Кванта авторы пишут, что им неизвестно, существуют ли тройки чисел $n-1, n, n+1$, являющиеся антипростыми. Это на самом деле известная гипотеза, носящая имя тройки авторов во главе с Эрдёшем - Erdös-Mollin-Walsh conjecture on consecutive powerful numbers - эта гипотеза в слабой форме (конечность числа таких троек) является следствием abc-гипотезы.