2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки


Правила форума


Посмотреть правила форума



Начать новую тему Ответить на тему
 
 Расходимость интеграла sin^2(x)/x
Сообщение26.10.2021, 13:45 


31/07/20
16
Рассмотрим интеграл $ \int_1^{+\infty} {\sin^2(x) \over x} $. Распишем по формуле Ньютона-Лейбница:
$ \int_1^{+\infty} {\sin^2(x) \over x} = [u = \sin^2(x), v' = {1 \over x} \rightarrow v = \ln(x)] = \sin^2(x)\ln(x)|_1^{+\infty} + \cdots $.
Можем ли мы по тому, что предела $ \lim_{x \to \+\infty }\sin^2(x)\ln(x)  $ не существует, сделать вывод, что интеграл расходится?

 Профиль  
                  
 
 Re: Расходимость интеграла sin^2(x)/x
Сообщение26.10.2021, 14:07 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


16/07/14
9545
Цюрих
Нет, не можем - вдруг вторая часть тоже расходится?
Посчитаем аналогично $\int_0^\infty x^2(1 - 1)\, dx$. Возьмем $u = x^2$, $v = 1$ (имеем право). Имеем $\int_0^\infty x^2(1 - 1)\, dx = x^2|_0^\infty + \ldots$. Предела опять же не существует, хотя исходный интеграл, очевидно, сходится.

(Оффтоп)

Это не формула Ньютона-Лейбница, это взятие по частям. И где дифференциал потерялся?

 Профиль  
                  
 
 Re: Расходимость интеграла sin^2(x)/x
Сообщение26.10.2021, 14:08 
Заслуженный участник


18/09/21
1772
Проще наверно через $\sin^2 x = \frac12 (1 - \cos 2x)$.

 Профиль  
                  
 
 Re: Расходимость интеграла sin^2(x)/x
Сообщение26.10.2021, 14:25 


31/07/20
16
mihaild в сообщении #1536445 писал(а):
Нет, не можем - вдруг вторая часть тоже расходится?
Посчитаем аналогично $\int_0^\infty x^2(1 - 1)\, dx$. Возьмем $u = x^2$, $v = 1$ (имеем право). Имеем $\int_0^\infty x^2(1 - 1)\, dx = x^2|_0^\infty + \ldots$. Предела опять же не существует, хотя исходный интеграл, очевидно, сходится.

(Оффтоп)

Это не формула Ньютона-Лейбница, это взятие по частям. И где дифференциал потерялся?


Да, действительно. Получается, в моём неправильном выводе ошибка заключалась в том, что я необоснованно перешёл от
$ \lim_{x \to +\infty} [\sin^2(x)\ln(x)|_0^x - \int_0^x 2\ln(x)\sin(x)\cos(x) dx] $
к
$ \lim_{x \to +\infty} [\sin^2(x)\ln(x)|_0^x] - \lim_{x \to +\infty} [\int_0^x 2\ln(x)\sin(x)\cos(x) dx]$?

 Профиль  
                  
 
 Re: Расходимость интеграла sin^2(x)/x
Сообщение26.10.2021, 14:27 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


16/07/14
9545
Цюрих
Да. Предел суммы может существовать даже если ни у одного из слагаемых предела не существует.

 Профиль  
                  
 
 Re: Расходимость интеграла sin^2(x)/x
Сообщение27.10.2021, 03:28 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


31/01/14
11480
Hogtown
Есть и более простое рассуждение, которое годится, например для $$\int_1^\infty \frac{\sin^{1002}(x)\cos^{1222} (x) }{x(12+\cos^3(x))}dx$$
Существует $\epsilon >0$ т.ч. каждом $(2\pi n , 2\pi (n+1)$ существует подинтервал длины $\epsilon >0$ на котором подынтегральное выражение $>\epsilon$. С другой стороны, подынтегральное выражение неотрицательно, поэтому $\int_0^{2\pi n} ... > \delta \sum_{n=1}^N \frac{1}{n}$, $\delta >0$, и расходимость интеграла следует из расходимости ряда $\sum_{n=\infty}^N \frac{1}{n}$.

 Профиль  
                  
 
 Re: Расходимость интеграла sin^2(x)/x
Сообщение27.10.2021, 08:00 
Заслуженный участник


13/12/05
4673
Red_Herring в сообщении #1536516 писал(а):
подынтегральное выражение

Наверное, множитель в подынтегральном выражении, стоящий при $1/x$?
Можно ещё первую теорему о среднем к интегралу $\int_n^{n+1}$ применить.

 Профиль  
                  
 
 Re: Расходимость интеграла sin^2(x)/x
Сообщение27.10.2021, 12:24 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


31/01/14
11480
Hogtown
Padawan в сообщении #1536522 писал(а):
аверное, множитель в подынтегральном выражении, стоящий при $1/x$?

Конечно, спасибо.

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 8 ] 

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: Alex Krylov


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group