Чётность от целой части

[lel0lel]

Все квадратичные иррациональности, удовлетворяющие условию задачи, определяются формулой:

$$\frac{2 k+1+\sqrt{(2k+1)^2+8 m}}{2},$$

здесь $k, m$ -- натуральные числа, причём $m\leq k$. Наименьшая получается при $m=k=1$, она равна $\frac{3+\sqrt{17}}{2}$, что совпадает с

maxal в сообщении #25753 писал(а):

Поэтому для $u=\frac{3 + \sqrt{17}}{2}$ можно утверждать, что:
$[u^{2k}] = x_{2k} - 1$ -- четное число;
$[u^{2k+1}] = x_{2k+1}$ -- нечетное число.

Можно рассмотреть следующую задачу: найти такие $u>0$, что $\left \lceil{u^n}\right \rceil \equiv n\pmod{2}$ для всех $n$. В этом случае все квадратичные иррациональности, удовлетворяющие условию задачи, определяются формулой:

$$k + \sqrt{k^2 + m}$$

здесь $k, m$ -- натуральные числа, причём $m\leq 2k$. Наименьшая получается при $m=k=1$, она равна $1+\sqrt{2}$.

[lel0lel]

Семейство кубических иррациональностей, удовлетворяющих условию задачи, задаётся наибольшим корнем следующего уравнения:

$$u^3-(2 k+1) u^2-(2 m-1) u+1=0,$$

здесь $k, m$ -- натуральные числа и $m\leq k$. При $m=k=1$ имеем $u^3-3u^2-u+1=0,$ что совпадает с уравнением приведённым на MO. Его наибольший корень является наименьшим среди наибольших корней данного семейства уравнений. Это семейство не даёт все решения в виде кубических иррациональностей.