Чётность от целой части

[Руст]

Найти хотя бы одно число u>1, для которого выполняется:
$[u^n]=n(mod \ 2).$

[bot]

Я так понимаю, что для всех n?
Впрочем, вопрос дурацкий - а как же иначе?

[Руст]

Для всех натуральных. Естественно n=0 сюда не включается.

[Imperator]

$u=\sqrt[n]{(2k-1)n}$, где $n \in N$, а $k=1, 2, 3, ...$, не подойдет?

[незваный гость]

Требуется $u: \forall n \in {\mathbb N} \ \ [u^n] \equiv n (\!\!\!\!\mod 2)$

[Аурелиано Буэндиа]

Руст писал(а):

Найти хотя бы одно число u>1, для которого выполняется:
$[u^n]=n(mod \ 2).$

для любого вещественного $u>1$ найдется такое натуральное $n$ что $[u^n]>1$. С другой стороны $n\ \ mod\ \ 2$ при $n\in N$ может принимать значения только из $\{0,1\}$.
Или я неправильно понял условие?

[незваный гость]

неправильно. Нужно, чтобы разность $[u^n]-n$ была всегда четным числом, и не более того.

[maxal]

Рассмотрим последовательность $x_0=2,\ x_1=3,\ x_n = 3x_{n-1}+2x_{n-2}$ для $n\geq 2$.
Очевидно, что все $x_n$ для $n\geq 1$ являются нечетными числами. Также нетрудно получить явную формулу:

$$x_n = \left(\frac{3 + \sqrt{17}}{2}\right)^n + \left(\frac{3 - \sqrt{17}}{2}\right)^n.$$

Очевидно, что второе слагаемое в этой формуле по модулю меньше 1 и меняет знак в зависимости от четности $n$.
Поэтому для $u=\frac{3 + \sqrt{17}}{2}$ можно утверждать, что:
$[u^{2k}] = x_{2k} - 1$ -- четное число;
$[u^{2k+1}] = x_{2k+1}$ -- нечетное число.

[Руст]

Без условия u>1 годится любое число от -1 до 0.
Когда я решал эту задачу, показалось, что нельзя найти положительную квадратичную иррациональность с таким свойством и нашёл кубическую иррациональность u корень из интервала (5,6) уравнения: $x^3-5x-5x-1$ Легко проверяется, что другие корни в интервале (-1,0) и в сумме больше -1.

[maxal]

Руст в сообщении #25725 писал(а):

Найти хотя бы одно число u>1, для которого выполняется:
$[u^n]=n(mod \ 2).$

Кстати, на MathOverflow спрашивают, чему равно минимальное такое $u$. Пока получены только оценки.

[Руст]

Пусть $u=x_1>1$ корень уравнения $x_1^k=a_1x^{k-1}+a_2x^{k-1}+...+a_k$ с целыми коэффициентами.
Пусть остальные корни отрицательные, но больше -1. Пусть $A_n=x_1^n+x_2^n+...x_k^n$.
Эта последовательность целочисленная и определяется из рекурентного соотношения:
$A_{n}=a_1A_{n-1}+a_2A_2+...+a_kA_k$ с начальными условиями:
$A_0=k,A_1=a_1, A_2=a_1^2+2a_2, A_3=a_1^3+3a_1a_2+3a_3,...$
$[u^n]=[A_n-x_2^n-x_3^n-...x_k^n$.
При больших $n$ $[u^n]-n$ четно, если $A-n$ нечетно.
Как указано, $A_1,A_2$ имеет одинаковую нечетность. Соответственно, удобнее сделать все $A_n, n\ge 1$ нечетными.
Для этого достаточно брать $a_1$ нечетным, остальные $a_i$ четными.
При этом надо еще соблюдать, чтобы остальные корни оставались в интервале (-1,0). Если $-\sum_{i>1} x_i=x_1-a_1<1$, то наше условие $[u^n]=n\mod 2$ выполняется при всех $n$.
Однако, условие $x_1-a_1<1$ мешает минимизировать $x_1$. Нам достаточно требовать, чтобы $0<y_i=-x_i<1,i>1$ и
$[\sum_{i=2}^k y_i^j]$ было четным.
Выберем многочлен
$(x+1)^k-A(x+y_2)(x+y_3)...(x+y_k)=x^k-a_1x^{k-1}-a_2x^{k-2}-...-a_k$.
Тогда за счет выбора корней и $A$ можно удовлетворять всем условиям и сделать $u$ как угодно близкой к 1.

[Руст]

Написал глупость, начиная считать только выполнение этого условия начиная с некоторого большого n.
На самом деле уже первые два шага дают $\sqrt 2\le u<\sqrt 3$ или $u>3$.
Далее требуя $[u^k]-k$ четное для $k\le 27$ первый интервал исчезает.
При $u>3$ так же существует нижняя граница, получаемая из первых шагов. После второго шага $u>\sqrt{10}=3,1622766..$

[nnosipov]

Перенесено из темы Нечетность целой части // maxal

maxal в сообщении #1536113 писал(а):

Вопрос о минимальном возможном значении $u$ - открыт.

А если искать только среди квадратичных иррациональностей?

[Dmitriy40]

Ради интереса проверил вычислениями $1<u<2$, ни одно из 6-ти значений не выдерживает $n>13$. А вот $u\approx\sqrt{10.01}$ (что совпадает с интервалом с МО $\sqrt[16]{100801956}<u<\sqrt[16]{100801957}$) выдерживает $n>15000$, так что вполне вероятно где-то около него есть и минимальное решение.

UPD. Даже уточню, решение (возможно и несколько), может быть в интервале $3.163856737311589324991650 < u < 3.163856737311589324991651$.

[maxal]

nnosipov в сообщении #1536159 писал(а):

А если искать только среди квадратичных иррациональностей?

Должно быть несложно. Хорошая задачка.