Нахождение предела последовательности

[ElRomcho]

Здравствуйте! Подскажите, пожалуйста, куда двигаться с доказательством этого предела. Уже достаточно долго пытаюсь что-то с ним сделать, всё безрезультатно(

$$\lim\limits_{n\to\infty}\frac{n^n}{{(n!)}^a} = 0, a > 1$$

[Pphantom]

Пусть $a=0$. Тогда утверждение очевидно неверно, так что начать надо было бы с корректной формулировки задачи.

[мат-ламер]

Попробуйте для начала избавиться от факториала с помощью формулы Стирлинга.

[Pphantom]

мат-ламер в сообщении #1536216 писал(а):

Попробуйте для начала избавиться от факториала с помощью формулы Стирлинга.

Если формула Стирлинга известна, то это устная задача (а дают такие задачи тогда, когда ее еще нет).

[ElRomcho]

Pphantom в сообщении #1536225 писал(а):

мат-ламер в сообщении #1536216 писал(а):

Попробуйте для начала избавиться от факториала с помощью формулы Стирлинга.

Если формула Стирлинга известна, то это устная задача (а дают такие задачи тогда, когда ее еще нет).

Да, формула Стирлинга ещё не известна

[zykov]

Возьмите логарифм и оцените сумму логарифмов $\ln 2 + \ln 3 + ... +\ln n$ снизу через интеграл.

[ElRomcho]

zykov в сообщении #1536238 писал(а):

Возьмите логарифм и оцените сумму логарифмов $\ln 2 + \ln 3 + ... +\ln n$ снизу через интеграл.

Мне пока рано для интегралов

[zykov]

Интегралы в школе проходят...
Вы в каком классе, что вам такой предел задали?

[ElRomcho]

я на первом курсе

[zykov]

Значит интегралы из школьной программы не рано.
Так при $n \geq 2$ будет $\ln n > \int_{n-1}^n \ln x \; dx$.

[ElRomcho]

zykov
Правда рано Мы проходим матанализ почти с нуля, про интегралы даже ничего не говорили.

[zykov]

Через интеграл получится $\ln n > n\ln n-(n-1)\ln( n-1)-1$.
Наверно это же можно доказать без интеграла.

[vpb]

zykov
По-моему, даже в физматшколе интегрировать $\int \ln x\,dx$ по частям не учат.

ElRomcho
Вот вспомогательная задача. Рассмотрите последовательность $b_n=n^n/n!$ и найдите (это делается весьма простыми преобразованиями) предел $\lim_{n\to\infty} b_{n+1}/b_n$. При этом, используйте известный предел для числа $e$.

[zykov]

1) Интегрирование по частям учат.
2) Можно найти табличный интеграл.
3) Можно подобрать. Интеграл от константы - $x$. $\ln x$ чуть больше константы, можно попробовать $x \ln x$, его производня $1+ \ln x$, дальше просто.

[ElRomcho]

vpb
Спасибо! Попробую