Приведите пример непрерывной функции

[artempalkin]

Задача ставится так:

Приведите пример непрерывной функции, которая отображает множество $S=[-3;-2]\cup [2;3]$ на себя и не имеет неподвижной точки.

(Give an example of a continuous function that maps the set of numbers $S = [-3;-2] \cup [2; 3]$ into itself, and that has no fixed point. в оригинале)

Загадочная задача. Не сказано, откуда и куда должна действовать функция. Если речь идет о функции $S\to S$, тогда прекрасно подойдет $f(x)=-x$ и задача слишком простая. Если подразумевается функция $\mathbb{R}\to\mathbb{R}$, то что-то мне кажется, что непрерывной функции такой построить не получится, чтобы без неподвижной точки. Но может я неправ? Подскажите, пожалуйста.

[Otta]

artempalkin в сообщении #1535383 писал(а):

Если речь идет о функции $S\to S$, тогда прекрасно подойдет $f(x)=-x$ и задача слишком простая.

Ага.

[artempalkin]

Otta в сообщении #1535384 писал(а):

Ага.

То есть правильно я понимаю, что подобной функции $\mathbb{R}\to\mathbb{R}$ не существует? Честно говоря, я не совсем понимаю, как это доказать.

-- 19.10.2021, 09:54 --

Понятно, что эта функция должна обитать либо в квадратах $[-3;-2]\times [-3;-2]$ и $[2;3]\times [2;3]$, либо $[-3;-2]\times [2;3]$ и $[2;3]\times [-3;-2]$.

В первом случае функция не сможет отобразить отрезок сам на себя без неподвижной точки. Во втором случае функция никак не сможет попасть из первого квадрата во второй без пересечения с $y=x$. Такое доказательство хорошее?

[Otta]

Какой - подобной?
Задача не об этом. Если Вы хотите порешать другую, имеет смысл сформулировать ее.

[artempalkin]

Вполне возможно, я не до конца понимаю английский, но задача сформулирована неоднозначно.

artempalkin в сообщении #1535383 писал(а):

function that maps the set of numbers $S = [-3;-2] \cup [2; 3]$ into itself

Это означает, что функция отображает множество в себя. Но не сказано, откуда и куда она действует. Это, строго говоря, упущение, и задачу можно понять по-разному. По-видимому, имелась в виду функция, обладающая указанными свойствами, и действующая $S\to S$. Такую функцию несложно указать.

Давайте предположим, что задача формулируется по-другому:

Приведите пример непрерывной функции $\mathbb{R}\to\mathbb{R}$, которая отображает множество $S=[-3;-2]\cup [2;3]$ на себя и не имеет неподвижной точки.

Такой функции не существует, и вот такое доказательство этого факта $\uparrow$. Такое док-во будет достаточно?

[Otta]

1) В оригинале - "в себя".
2)

artempalkin в сообщении #1535429 писал(а):

Приведите пример непрерывной функции $\mathbb{R}\to\mathbb{R}$, которая отображает множество $S=[-3;-2]\cup [2;3]$ на себя и не имеет неподвижной точки.

А чем Вам неугоден тот же - $f(x)=-x$ ?
3)

artempalkin в сообщении #1535429 писал(а):

Давайте предположим, что задача формулируется по-другому:

По-моему, никакой разницы.

[artempalkin]

Otta в сообщении #1535430 писал(а):

А чем Вам неугоден тот же - $f(x)=-x$ ?

Ну дык такая функция имеет неподвижную точку $x=0$... ??

[Otta]

А, в этом смысле.
Да, тогда неугоден.
Однако же в оригинале все равно "into iitself".

Мне все-таки видится, что задача была задумана в качестве иллюстрации к необходимости некоторых условий теоремы Брауэра. Возможно, это одна из нескольких задач такого сорта.

Если отображать "на" - Вашего доказательства достаточно. Но в теореме Брауэра сюръективность не нужна.