2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки


Правила форума


Посмотреть правила форума



Начать новую тему Ответить на тему
 
 Приведите пример непрерывной функции
Сообщение18.10.2021, 21:23 


14/02/20
492
Задача ставится так:

Приведите пример непрерывной функции, которая отображает множество $S=[-3;-2]\cup [2;3]$ на себя и не имеет неподвижной точки.

(Give an example of a continuous function that maps the set of numbers $S = [-3;-2] \cup [2; 3]$ into itself, and that has no fixed point. в оригинале)

Загадочная задача. Не сказано, откуда и куда должна действовать функция. Если речь идет о функции $S\to S$, тогда прекрасно подойдет $f(x)=-x$ и задача слишком простая. Если подразумевается функция $\mathbb{R}\to\mathbb{R}$, то что-то мне кажется, что непрерывной функции такой построить не получится, чтобы без неподвижной точки. Но может я неправ? Подскажите, пожалуйста.

 Профиль  
                  
 
 Re: Приведите пример непрерывной функции
Сообщение18.10.2021, 21:30 
Заслуженный участник


09/05/13
8515
artempalkin в сообщении #1535383 писал(а):
Если речь идет о функции $S\to S$, тогда прекрасно подойдет $f(x)=-x$ и задача слишком простая.

Ага.

 Профиль  
                  
 
 Re: Приведите пример непрерывной функции
Сообщение19.10.2021, 09:50 


14/02/20
492
Otta в сообщении #1535384 писал(а):
Ага.

То есть правильно я понимаю, что подобной функции $\mathbb{R}\to\mathbb{R}$ не существует? Честно говоря, я не совсем понимаю, как это доказать.

-- 19.10.2021, 09:54 --

Понятно, что эта функция должна обитать либо в квадратах $[-3;-2]\times [-3;-2]$ и $[2;3]\times [2;3]$, либо $[-3;-2]\times [2;3]$ и $[2;3]\times [-3;-2]$.

В первом случае функция не сможет отобразить отрезок сам на себя без неподвижной точки. Во втором случае функция никак не сможет попасть из первого квадрата во второй без пересечения с $y=x$. Такое доказательство хорошее?

 Профиль  
                  
 
 Re: Приведите пример непрерывной функции
Сообщение19.10.2021, 09:54 
Заслуженный участник


09/05/13
8515
Какой - подобной?
Задача не об этом. Если Вы хотите порешать другую, имеет смысл сформулировать ее.

 Профиль  
                  
 
 Re: Приведите пример непрерывной функции
Сообщение19.10.2021, 10:03 


14/02/20
492
Вполне возможно, я не до конца понимаю английский, но задача сформулирована неоднозначно.
artempalkin в сообщении #1535383 писал(а):
function that maps the set of numbers $S = [-3;-2] \cup [2; 3]$ into itself

Это означает, что функция отображает множество в себя. Но не сказано, откуда и куда она действует. Это, строго говоря, упущение, и задачу можно понять по-разному. По-видимому, имелась в виду функция, обладающая указанными свойствами, и действующая $S\to S$. Такую функцию несложно указать.

Давайте предположим, что задача формулируется по-другому:

Приведите пример непрерывной функции $\mathbb{R}\to\mathbb{R}$, которая отображает множество $S=[-3;-2]\cup [2;3]$ на себя и не имеет неподвижной точки.

Такой функции не существует, и вот такое доказательство этого факта $\uparrow$. Такое док-во будет достаточно?

 Профиль  
                  
 
 Re: Приведите пример непрерывной функции
Сообщение19.10.2021, 10:11 
Заслуженный участник


09/05/13
8515
1) В оригинале - "в себя".
2)
artempalkin в сообщении #1535429 писал(а):
Приведите пример непрерывной функции $\mathbb{R}\to\mathbb{R}$, которая отображает множество $S=[-3;-2]\cup [2;3]$ на себя и не имеет неподвижной точки.

А чем Вам неугоден тот же - $f(x)=-x$ ?
3)
artempalkin в сообщении #1535429 писал(а):
Давайте предположим, что задача формулируется по-другому:

По-моему, никакой разницы.

 Профиль  
                  
 
 Re: Приведите пример непрерывной функции
Сообщение19.10.2021, 10:16 


14/02/20
492
Otta в сообщении #1535430 писал(а):
А чем Вам неугоден тот же - $f(x)=-x$ ?

Ну дык такая функция имеет неподвижную точку $x=0$... ??

 Профиль  
                  
 
 Re: Приведите пример непрерывной функции
Сообщение19.10.2021, 10:32 
Заслуженный участник


09/05/13
8515
А, в этом смысле.
Да, тогда неугоден.
Однако же в оригинале все равно "into iitself".

Мне все-таки видится, что задача была задумана в качестве иллюстрации к необходимости некоторых условий теоремы Брауэра. Возможно, это одна из нескольких задач такого сорта.

Если отображать "на" - Вашего доказательства достаточно. Но в теореме Брауэра сюръективность не нужна.

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 8 ] 

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group