Симметрия против дисперсии, или Что победит.

[tonven]

tolstopuz в сообщении #1534933 писал(а):

почему при $z>1$ этот способ не работает.

Хотя, меня и z=1 интересен, но можно и с боков.

[Markus228]

tolstopuz в сообщении #1534933 писал(а):

Теперь в каждом из вариантов рассмотрим по две возможности $(n+1)$-го числа от ГСЧ2, аккуратно подставим в формулу полной вероятности и с удовлетворением увидим, что ответ не зависит от $p$. Далее разберемся, почему при $z>1$ этот способ не работает.

Это то что для $z=1$ первым в голову и пришло

[tolstopuz]

tonven в сообщении #1534936 писал(а):

Хотя, меня и z=1 интересен, но можно и с боков.

Правила запрещают публикацию полных готовых решений, поэтому я оставил пропуски, которые вы можете заполнить самостоятельно и понять, почему этот способ заходит в тупик при $z>1$.

Второй способ.

Обозначим $a$ количество единиц у ГСЧ1 и $b$ количество единиц у ГСЧ2. Мы должны найти вероятность того, что $b>a$. Перепишем это неравенство в виде $b+(n-a)>n$. Это означает, что нам надо найти вероятность того, что ГСЧ1' (это генератор, который инвертирует выдачу ГСЧ1) и ГСЧ2 в сумме дадут более $n$ единиц. Так как распределение у ГСЧ1' и ГСЧ2 одинаковое, мы можем просто посчитать вероятность того, что среди $2n+z$ случайных чисел выпало более $n$ единиц.

При $z=1$ задача тривиальна (обязательно ответьте, почему). При $z>1$ она фактически является хорошо изученным вопросом о хвосте биномиального распределения.

[Евгений Машеров]

Совпадение ответов для случая n=1, z=1 является случайностью, связанной с тем, что при таком небольшом числе испытаний достаточно велика вероятность совпадения числа выпадений для обоих ГСЧ. А совпадение Вы засчитываете на "непревышение". Чем больше n, тем ниже вероятность точного совпадения.
При достаточно больших n можно аппроксимировать распределение числа исходов нормальным с $\mu_1=\frac n 2$ и $\sigma_1^2=\frac n 4$ и $\mu_2=\frac {n+z} 2$ и $\sigma_2^2=\frac {n+z} 4$ соответственно.
Тогда разность числа выпадений единиц во втором и первом датчике будет распределена, как $\Phi(\frac z 2, \frac {2n+z} 4)$

[tonven]

Bсем спасибо. Буду разбираться.