Перестановочные матрицы

[Dr_Zet]

Доказать что для того, что бы квадратная матрица А была перестановочная со всеми квадратнми матрицами своего порядка, необходимо и достаточно что бы матрица А была скалярной (единичная матрица умноженая на какое-то число отличное от нуля)
В принципе доказать что если матрица скалярная, то она перестановочная ко всем проблем нет
Но вот в доказательстве обратного утверждения, т.е. если перестановочная то она скалярная, ну или же просто единственности, проблемы

[lel0lel]

Рассмотреть перестанавочность с матрицец, у которой только один ненулевой элемент, стоящий на пересечении $i$-ой строки и $j$-го столбца.

[Dr_Zet]

lel0lel Ну.. хорошо, допустим я докажу для какого то частного случая что кроме скалярной матрицы других коммутирующих нет. Это гарантирует что в другом частном случае не найдеться нескалярная перестановочная матрица?

[lel0lel]

Dr_Zet в сообщении #1534630 писал(а):

квадратная матрица А была перестановочная со всеми квадратнми матрицами своего порядка

Со всеми матрицами, вот мы и рассмотрели наиболее удобный частный случай, из которого следует, что матрица может быть только скалярной. Естественно, что $i, j$ надо считать произвольными.

В Кострикине, по-моему, есть подобное доказательство.

[Dr_Zet]

lel0lel Аааа.. дошло, спасибо)

[kmpl]

Dr_Zet в сообщении #1534630 писал(а):

матрица А была скалярной (единичная матрица умноженая на какое-то число отличное от нуля)

Число кстати не обязано быть отличным от нуля. Нулевая матрица тоже скалярная (и тоже, очевидно, перестановочная со всеми). Впрочем центр полной линейной группы - это действительно скалярные матрицы, получающиеся из единичной умножением на ненулевой число.