предел последовательности

[matan]

Как посчитать предел:

$$\lim\limits_{n\to\infty}\max\limits_{x\in\{[0,{1/3]}}{|\sin(2\pi x^n)|}}}$$

[ShMaxG]

Если я правильно понял условие, то при достаточно больших n

\[ \left| {\sin \left( {2\pi x^n } \right)} \right| = \sin \left( {2\pi x^n } \right) \]

при

\[ {x \in \left[ {0;\frac{1} {3}} \right]} \]

. Тогда

\[ \mathop {\max }\limits_{x \in \left[ {0;\frac{1} {3}} \right]} \left| {\sin \left( {2\pi x^n } \right)} \right| \to 2\pi x^n ,n \to + \infty \]

.

[matan]

Значит предел будет равен 0 при$x\in\[0,1/3]$?

[ShMaxG]

Да.

[matan]

А если $x\in\{[0,1]}$?

[ShMaxG]

При

\[ x \in \left[ {0;1} \right) \]

все то же самое. А что будет при x=1?

[Henrylee]

matan писал(а):

А если $x\in\{[0,1]}$?

Для любого $n$ выбираем $x=(1/4)^{1/n}\in[0,1)\subset[0,1]$.. дальше сами

ShMaxG, не то же самое. Случаи полуинтервала и отрезка как раз одинаковы.

Добавлено спустя 5 минут 47 секунд:

ShMaxG писал(а):

Тогда

\[ \mathop {\max }\limits_{x \in \left[ {0;\frac{1} {3}} \right]} \left| {\sin \left( {2\pi x^n } \right)} \right| \to 2\pi x^n ,n \to + \infty \]

.

Это как это так? левая часть чиcловая последовательность, а правая - функция от $x$ ?? Даже не функция, а функц. посл.-ть ?!

[ShMaxG]

2Henrylee

Да, вы правы, я ошибся.

[citadeldimon]

Давайте посчитаем $\max\limits_{x\in[0,\frac 1 3]}|sin(2\pi x^n)|$. Для этого рассмотрим функцию $f(x)=|sin(2\pi x^n)|=sin(2\pi x^n)$ - это не сложно показать, когда $x\in[0,\frac 1 3]$. Найдем $f'(x)$ и приравняем к $0$. Получим точки $0$ и $x^n=\frac k 2+\frac 1 4$. Нам не подходит $0$, проанализируем при скольких $k$ наши точки попадают в заданный отрезок. Выходит только при $k=0$.Значит наши точки экстремума есть $x^n=\frac 1 4$ и $\max\limits_{x\in[0,\frac 1 3]}|sin(2\pi x^n)|=sin \frac {\pi} 2=1.$

[Brukvalub]

citadeldimon в сообщении #153440 писал(а):

Значит наши точки экстремума есть $x^n=\frac 1 4$

А почему все эти точки лежат на отрезке $x\in[0,\frac 1 3]$?

[citadeldimon]

А разве не так? Надо просто решить два неравенства:
$\frac k 2 +\frac 1 4\geq 0$ и $\frac k 2 +\frac 1 4\leq (\frac 1 3)^n$. И не забыть что $k$ - целое.

[Brukvalub]

citadeldimon в сообщении #153448 писал(а):

А разве не так?

Не так:

\[ x = \frac{1}{{\sqrt[n]{4}}} \to 1\;,\;n \to \infty \]

[citadeldimon]

Brukvalub вы правы, не досмотрел, провел грубую оценку, но что тогда выходит? Функция имеет максимум в крайней точке $x=\frac 1 3.$ И тогда $2\pi x^n\to 0, lim=0$Так?

[Brukvalub]

citadeldimon в сообщении #153457 писал(а):

Функция имеет максимум в крайней точке $x=\frac 1 3.$ Так?

Да.

[citadeldimon]

Спасибо Brukvalub за исправление ошибки, ответ граница равна нулю, но если $x\in[0,1]$, то ответ $1$.