2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки




На страницу 1, 2  След.
 
 предел последовательности
Сообщение25.10.2008, 11:11 
Аватара пользователя
Как посчитать предел:
$$\lim\limits_{n\to\infty}\max\limits_{x\in\{[0,{1/3]}}{|\sin(2\pi x^n)|}}}$$

 
 
 
 
Сообщение25.10.2008, 11:20 
Аватара пользователя
Если я правильно понял условие, то при достаточно больших n \[
\left| {\sin \left( {2\pi x^n } \right)} \right| = \sin \left( {2\pi x^n } \right)
\] при \[
{x \in \left[ {0;\frac{1}
{3}} \right]}
\]. Тогда \[
\mathop {\max }\limits_{x \in \left[ {0;\frac{1}
{3}} \right]} \left| {\sin \left( {2\pi x^n } \right)} \right| \to 2\pi x^n ,n \to  + \infty 
\].

 
 
 
 
Сообщение25.10.2008, 11:22 
Аватара пользователя
Значит предел будет равен 0 при$x\in\[0,1/3]$?

 
 
 
 
Сообщение25.10.2008, 11:23 
Аватара пользователя
Да.

 
 
 
 
Сообщение25.10.2008, 11:25 
Аватара пользователя
А если $x\in\{[0,1]}$?

 
 
 
 
Сообщение25.10.2008, 11:30 
Аватара пользователя
При \[
x \in \left[ {0;1} \right)
\] все то же самое. А что будет при x=1?

 
 
 
 
Сообщение25.10.2008, 11:37 
Аватара пользователя
matan писал(а):
А если $x\in\{[0,1]}$?

Для любого $n$ выбираем $x=(1/4)^{1/n}\in[0,1)\subset[0,1]$.. дальше сами

ShMaxG, не то же самое. Случаи полуинтервала и отрезка как раз одинаковы.

Добавлено спустя 5 минут 47 секунд:

ShMaxG писал(а):
Тогда \[
\mathop {\max }\limits_{x \in \left[ {0;\frac{1}
{3}} \right]} \left| {\sin \left( {2\pi x^n } \right)} \right| \to 2\pi x^n ,n \to  + \infty 
\].

Это как это так? левая часть чиcловая последовательность, а правая - функция от $x$ ?? Даже не функция, а функц. посл.-ть ?!

 
 
 
 
Сообщение25.10.2008, 11:43 
Аватара пользователя
2Henrylee

Да, вы правы, я ошибся.:oops:

 
 
 
 
Сообщение26.10.2008, 16:55 
Аватара пользователя
Давайте посчитаем $\max\limits_{x\in[0,\frac 1 3]}|sin(2\pi x^n)|$. Для этого рассмотрим функцию $f(x)=|sin(2\pi x^n)|=sin(2\pi x^n)$ - это не сложно показать, когда $x\in[0,\frac 1 3]$. Найдем $f'(x)$ и приравняем к $0$. Получим точки $0$ и $x^n=\frac k 2+\frac 1 4$. Нам не подходит $0$, проанализируем при скольких $k$ наши точки попадают в заданный отрезок. Выходит только при $k=0$.Значит наши точки экстремума есть $x^n=\frac 1 4$ и $\max\limits_{x\in[0,\frac 1 3]}|sin(2\pi x^n)|=sin \frac {\pi} 2=1.$

 
 
 
 
Сообщение26.10.2008, 17:05 
Аватара пользователя
citadeldimon в сообщении #153440 писал(а):
Значит наши точки экстремума есть $x^n=\frac 1 4$

А почему все эти точки лежат на отрезке $x\in[0,\frac 1 3]$?

 
 
 
 
Сообщение26.10.2008, 17:14 
Аватара пользователя
А разве не так? Надо просто решить два неравенства:
$\frac k 2 +\frac  1 4\geq 0$ и $\frac k 2 +\frac  1 4\leq (\frac 1 3)^n$. И не забыть что $k$ - целое.

 
 
 
 
Сообщение26.10.2008, 17:20 
Аватара пользователя
citadeldimon в сообщении #153448 писал(а):
А разве не так?
Не так:\[
x = \frac{1}{{\sqrt[n]{4}}} \to 1\;,\;n \to \infty 
\]

 
 
 
 
Сообщение26.10.2008, 17:33 
Аватара пользователя
Brukvalub вы правы, не досмотрел, провел грубую оценку, но что тогда выходит? Функция имеет максимум в крайней точке $x=\frac 1 3.$ И тогда $2\pi x^n\to 0, lim=0$Так?

 
 
 
 
Сообщение26.10.2008, 17:33 
Аватара пользователя
citadeldimon в сообщении #153457 писал(а):
Функция имеет максимум в крайней точке $x=\frac 1 3.$ Так?
Да.

 
 
 
 
Сообщение26.10.2008, 17:36 
Аватара пользователя
Спасибо Brukvalub за исправление ошибки, ответ граница равна нулю, но если $x\in[0,1]$, то ответ $1$.

 
 
 [ Сообщений: 16 ]  На страницу 1, 2  След.


Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group