ЛЛ т.1. Ангармонические колебания. Опечатка?

[kzv]

Пробую разобраться в не самом сложном параграфе (28) первого тома Ландау Лифшица: "Ангармонические колебания". Конкретно завис над примером где рассматривают одномерное колебание.
Не разобрался что там за "упрощение" они делают для уравнения движения, я "в лоб" решаю и получаю похожие выражения, но есть разница в знаках...

Исходное уравнение:
$\ddot{x} + \omega^2x = - \alpha x^2 - \beta x^3$

Первое приближение: (тут все как в учебнике получается)
$x = x^{(1)}$

$\omega = \omega_0$

Подставляем и отбрасываем все члены выше первого порядка малости
$\ddot{x}^{{(1)}} + {\omega_0}^2x^{(1)} = 0$

$x^{(1)}=a \cos(\omega_0 t)$

Второе приближение:
$\omega = \omega_0+\omega_1$

$x = x^{(1)}+x^{(2)}=a \cos((\omega_0+\omega_1) t)+x^{(2)}$

Подставляем и отбрасываем все члены выше второго порядка малости:
$\underbrace{\ddot{x}^{{(1)}} + {\omega_0}^2x^{(1)}}_{=0} +2\omega_0\omega_1 x^{(1)}+ \ddot{x}^{{(2)}} + {\omega_0}^2x^{(2)} =- \alpha a^2 \cos^2(\omega t)$

Приходим к тому, что есть в учебнике, но не совсем:
$\ddot{x}^{{(2)}} + {\omega_0}^2x^{(2)} = -\alpha a^2 \cos^2(\omega t)-2\omega_0\omega_1 a \cos(\omega t)$

В учебнике, в правой части у второго слагаемого другой знак:
$\ddot{x}^{{(2)}} + {\omega_0}^2x^{(2)} = -\alpha a^2 \cos^2(\omega t)+2\omega_0\omega_1 a \cos(\omega t)$

На итог эта разница не влияет, потому что второе слагаемое это "резонансный член".
$\omega_1 = 0$

И для поправки получаем то же самое, что и в учебнике:

$x^{(2)} = -\frac{\alpha a^2}{2\omega_0^2}-\frac{\alpha a^2}{6\omega_0^2}\cos(2\omega t)$

Третье приближение:
$\omega = \omega_0+\omega_2$

$x = x^{(1)}+x^{(2)}+x^{(3)}=a \cos((\omega_0+\omega_2) t)-\frac{\alpha a^2}{2\omega_0^2}-\frac{\alpha a^2}{6\omega_0^2}\cos(2\omega t) +x^{(3)}$

Подставляем и отбрасываем все члены выше третьего порядка малости и опять у меня получается разница в знаке:

Мой результат:
$\ddot{x}^{{(3)}} + {\omega_0}^2x^{(3)} =- 2\alpha x^{(1)}x^{(2)}-\beta x^{(1)}^3 - 2{\omega_0}{\omega_2}x^{(1)}$

В учебнике:
$\ddot{x}^{{(3)}} + {\omega_0}^2x^{(3)} =- 2\alpha x^{(1)}x^{(2)}-\beta x^{(1)}^3 + 2{\omega_0}{\omega_2}x^{(1)}$

В этом случае знак уже влияет на итоговую формулу для поправки к частоте:

У меня $\omega_2 = (\frac{5a^2}{12\omega_0^3}-\frac{2\beta}{8\omega_0})a^2$

В учебнике $\omega_2 =( \frac{2\beta}{8\omega_0}-\frac{5a^2}{12\omega_0^3})a^2$

Вот и думаю: либо после кучи переизданий в учебнике все еще сохранились опечатки, либо я что-то не так делаю?
Вообще, по логике, $\beta$ - это ведь какая-то малая величина должна быть по сравнению с амплитудой в квадрате $a^2$ ? Значит с большой долей вероятности, $\omega_2$ будет отрицательной если ее по формуле из учебника считать?

[kzv]

Не могу исправлять сообщение, напишу в новом.
Вот мое полное решение для второго приближения:
$\ddot{x}+\omega^2 x =\ddot{x}^{(1)}+\ddot{x}^{(2)}+(\omega_0+\omega_1)^2 x^{(1)}+(\omega_0+\omega_1)^2 x^{(2)}=\underbrace{\ddot{x}^{(1)}+\omega_0^2 x^{(1)}}_{=0}+2\omega_0\omega_1 x^{(1)}+\underbrace{\omega_1^2 x^{(1)}}_{=0}+\ddot{x}^{(2)}+\omega_0^2 x^{(2)}+2\omega_0\underbrace{\omega_1 x^{(2)}}_{=0}+\underbrace{\omega_1^2 x^{(2)}}_{=0}$

[Cos(x-pi/2)]

В книге нет опечатки, а Вы действуете неверно:

kzv в сообщении #1534386 писал(а):

Исходное уравнение:
$\ddot{x} + \omega^2x = - \alpha x^2 - \beta x^3$

В книге ЛЛ т.1 написано и решается другое уравнение движения - с частотой $\omega_0$ в левой стороне:

$$\ddot{x} + \omega_0^2x = - \alpha x^2 - \beta x^3$$

$\omega_0$ это заданный параметр в данной задаче, как и параметры $\alpha,$ $\beta;$ его нельзя там самовольно заменять неизвестной величиной $\omega.$

kzv в сообщении #1534386 писал(а):

Второе приближение: <...>
$x = x^{(1)}+x^{(2)}=a \cos((\omega_0+\omega_1) t)+x^{(2)}$
Подставляем и отбрасываем все члены выше второго порядка малости

Вот если это выражение $x$ подставите в то уравнение движения, которое написано в книге, то в его левой стороне вторая производная по времени от косинуса даст слагаемое

$$-(\omega_0+\omega_1)^2x^{(1)} \approx -\omega_0^2x^{(1)}-2\omega_0\omega_1x^{(1)}$$

т.е. слагаемое $2\omega_0\omega_1x^{(1)}$ получится с правильным знаком, как в книге.

[kzv]

Cos(x-pi/2) в сообщении #1534430 писал(а):

В книге нет опечатки, а Вы действуете неверно:

kzv в сообщении #1534386 писал(а):

Второе приближение: <...>
$x = x^{(1)}+x^{(2)}=a \cos((\omega_0+\omega_1) t)+x^{(2)}$
Подставляем и отбрасываем все члены выше второго порядка малости

Вот если это выражение $x$ подставите в то уравнение движения, которое написано в книге, то в его левой стороне вторая производная по времени от косинуса даст слагаемое

$$-(\omega_0+\omega_1)^2x^{(1)} \approx -\omega_0^2x^{(1)}-2\omega_0\omega_1x^{(1)}$$

т.е. слагаемое $2\omega_0\omega_1x^{(1)}$ получится с правильным знаком, как в книге.

Тогда вообще непонятно откуда это слагаемое взялось?

Исходное уравнение:
$\ddot{x} + \omega_0^2x = - \alpha x^2 - \beta x^3$

Левая часть уравнения:
$\ddot{x}+\omega_0^2 x =\ddot{x}^{(1)}+\ddot{x}^{(2)}+\omega_0^2 x^{(1)}+\omega_0^2 x^{(2)}=\underbrace{\ddot{x}^{(1)}+\omega_0^2 x^{(1)}}_{=0}+\ddot{x}^{(2)}+\omega_0^2 x^{(2)}$

Правая часть:
$- \alpha x^2 = - \alpha (x^{(1)}+x^{(2)})^2=- \alpha x^{(1)}^2 - 2\alpha \underbrace{x^{(1)}x^{(2)}}_{=0}-\alpha \underbrace{x^{(2)}^2}_{=0}=- \alpha a^2 \cos^2(\omega t)$

Итог:
$\ddot{x}^{(2)}+\omega_0^2 x^{(2)} = - \alpha a^2 \cos^2(\omega t)$

[Cos(x-pi/2)]

Производную от косинуса не надо лениться посчитать. Вот в этом месте у Вас ошибка:

kzv в сообщении #1534435 писал(а):

Левая часть уравнения:
$ ... =\underbrace{\ddot{x}^{(1)}+\omega_0^2 x^{(1)}}_{=0}+...$

Не равна нулю эта сумма (до тех пор, пока не выберем $\omega_1=0;$ но этот выбор будет сделан позже, а на данном этапе у нас ещё нет обоснования такому выбору). Поскольку подставляем в эту сумму выражение $x^{(1)}=a \cos((\omega_0+\omega_1) t),$ то, как я Вам уже писал, вторая производная имеет вид

$$\ddot{x}^{(1)}=-(\omega_0+\omega_1)^2x^{(1)} \approx -\omega_0^2x^{(1)}-2\omega_0\omega_1x^{(1)}$$

Поэтому та сумма, которую Вы необоснованно объявляете равной нулю, на самом деле равна выражению $-2\omega_0\omega_1x^{(1)}.$

[kzv]

Cos(x-pi/2) в сообщении #1534437 писал(а):

Производную от косинуса не надо лениться посчитать. Вот в этом месте у Вас ошибка:

kzv в сообщении #1534435 писал(а):

Левая часть уравнения:
$ ... =\underbrace{\ddot{x}^{(1)}+\omega_0^2 x^{(1)}}_{=0}+...$

Не равна нулю эта сумма (до тех пор, пока не выберем $\omega_1=0;$ но этот выбор будет сделан позже, а на данном этапе у нас ещё нет обоснования такому выбору). Поскольку подставляем в эту сумму выражение $x^{(1)}=a \cos((\omega_0+\omega_1) t),$ то, как я Вам уже писал, вторая производная имеет вид

$$\ddot{x}^{(1)}=-(\omega_0+\omega_1)^2x^{(1)} \approx -\omega_0^2x^{(1)}-2\omega_0\omega_1x^{(1)}$$

Поэтому та сумма, которую Вы необоснованно объявляете равной нулю, на самом деле равна выражению $-2\omega_0\omega_1x^{(1)}.$

Спасибо, разобрался!