2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки




Начать новую тему Ответить на тему
 
 ЛЛ т.1. Ангармонические колебания. Опечатка?
Сообщение09.10.2021, 15:08 


15/09/20
53
Пробую разобраться в не самом сложном параграфе (28) первого тома Ландау Лифшица: "Ангармонические колебания". Конкретно завис над примером где рассматривают одномерное колебание.
Не разобрался что там за "упрощение" они делают для уравнения движения, я "в лоб" решаю и получаю похожие выражения, но есть разница в знаках...

Исходное уравнение:
$\ddot{x} + \omega^2x = - \alpha x^2 - \beta x^3$

Первое приближение: (тут все как в учебнике получается)
$x = x^{(1)}$

$\omega = \omega_0$

Подставляем и отбрасываем все члены выше первого порядка малости
$\ddot{x}^{{(1)}} + {\omega_0}^2x^{(1)} = 0$

$x^{(1)}=a \cos(\omega_0 t)$

Второе приближение:
$\omega = \omega_0+\omega_1$

$x = x^{(1)}+x^{(2)}=a \cos((\omega_0+\omega_1) t)+x^{(2)}$

Подставляем и отбрасываем все члены выше второго порядка малости:
$\underbrace{\ddot{x}^{{(1)}} + {\omega_0}^2x^{(1)}}_{=0} +2\omega_0\omega_1 x^{(1)}+ \ddot{x}^{{(2)}} + {\omega_0}^2x^{(2)} =- \alpha a^2 \cos^2(\omega t)$

Приходим к тому, что есть в учебнике, но не совсем:
$\ddot{x}^{{(2)}} + {\omega_0}^2x^{(2)} = -\alpha a^2 \cos^2(\omega t)-2\omega_0\omega_1 a \cos(\omega t)$

В учебнике, в правой части у второго слагаемого другой знак:
$\ddot{x}^{{(2)}} + {\omega_0}^2x^{(2)} = -\alpha a^2 \cos^2(\omega t)+2\omega_0\omega_1 a \cos(\omega t)$

На итог эта разница не влияет, потому что второе слагаемое это "резонансный член".
$\omega_1 = 0$

И для поправки получаем то же самое, что и в учебнике:

$x^{(2)} = -\frac{\alpha a^2}{2\omega_0^2}-\frac{\alpha a^2}{6\omega_0^2}\cos(2\omega t)$

Третье приближение:
$\omega = \omega_0+\omega_2$

$x = x^{(1)}+x^{(2)}+x^{(3)}=a \cos((\omega_0+\omega_2) t)-\frac{\alpha a^2}{2\omega_0^2}-\frac{\alpha a^2}{6\omega_0^2}\cos(2\omega t) +x^{(3)}$

Подставляем и отбрасываем все члены выше третьего порядка малости и опять у меня получается разница в знаке:

Мой результат:
$\ddot{x}^{{(3)}} + {\omega_0}^2x^{(3)} =- 2\alpha x^{(1)}x^{(2)}-\beta x^{(1)}^3 - 2{\omega_0}{\omega_2}x^{(1)}$

В учебнике:
$\ddot{x}^{{(3)}} + {\omega_0}^2x^{(3)} =- 2\alpha x^{(1)}x^{(2)}-\beta x^{(1)}^3 + 2{\omega_0}{\omega_2}x^{(1)}$

В этом случае знак уже влияет на итоговую формулу для поправки к частоте:

У меня $\omega_2 = (\frac{5a^2}{12\omega_0^3}-\frac{2\beta}{8\omega_0})a^2$

В учебнике $\omega_2 =( \frac{2\beta}{8\omega_0}-\frac{5a^2}{12\omega_0^3})a^2$

Вот и думаю: либо после кучи переизданий в учебнике все еще сохранились опечатки, либо я что-то не так делаю?
Вообще, по логике, $\beta$ - это ведь какая-то малая величина должна быть по сравнению с амплитудой в квадрате $a^2$ ? Значит с большой долей вероятности, $\omega_2$ будет отрицательной если ее по формуле из учебника считать?

 Профиль  
                  
 
 Re: ЛЛ т.1. Ангармонические колебания. Опечатка?
Сообщение09.10.2021, 20:07 


15/09/20
53
Не могу исправлять сообщение, напишу в новом.
Вот мое полное решение для второго приближения:
$\ddot{x}+\omega^2 x =\ddot{x}^{(1)}+\ddot{x}^{(2)}+(\omega_0+\omega_1)^2 x^{(1)}+(\omega_0+\omega_1)^2 x^{(2)}=\underbrace{\ddot{x}^{(1)}+\omega_0^2 x^{(1)}}_{=0}+2\omega_0\omega_1 x^{(1)}+\underbrace{\omega_1^2 x^{(1)}}_{=0}+\ddot{x}^{(2)}+\omega_0^2 x^{(2)}+2\omega_0\underbrace{\omega_1 x^{(2)}}_{=0}+\underbrace{\omega_1^2 x^{(2)}}_{=0}$

 Профиль  
                  
 
 Re: ЛЛ т.1. Ангармонические колебания. Опечатка?
Сообщение09.10.2021, 20:39 
Заслуженный участник


29/09/14
947
В книге нет опечатки, а Вы действуете неверно:

kzv в сообщении #1534386 писал(а):
Исходное уравнение:
$\ddot{x} + \omega^2x = - \alpha x^2 - \beta x^3$

В книге ЛЛ т.1 написано и решается другое уравнение движения - с частотой $\omega_0$ в левой стороне: $$\ddot{x} + \omega_0^2x = - \alpha x^2 - \beta x^3$$
$\omega_0$ это заданный параметр в данной задаче, как и параметры $\alpha,$ $\beta;$ его нельзя там самовольно заменять неизвестной величиной $\omega.$


kzv в сообщении #1534386 писал(а):
Второе приближение: <...>
$x = x^{(1)}+x^{(2)}=a \cos((\omega_0+\omega_1) t)+x^{(2)}$
Подставляем и отбрасываем все члены выше второго порядка малости

Вот если это выражение $x$ подставите в то уравнение движения, которое написано в книге, то в его левой стороне вторая производная по времени от косинуса даст слагаемое $$-(\omega_0+\omega_1)^2x^{(1)} \approx -\omega_0^2x^{(1)}-2\omega_0\omega_1x^{(1)}$$ т.е. слагаемое $2\omega_0\omega_1x^{(1)}$ получится с правильным знаком, как в книге.

 Профиль  
                  
 
 Re: ЛЛ т.1. Ангармонические колебания. Опечатка?
Сообщение09.10.2021, 21:40 


15/09/20
53
Cos(x-pi/2) в сообщении #1534430 писал(а):
В книге нет опечатки, а Вы действуете неверно:

kzv в сообщении #1534386 писал(а):
Второе приближение: <...>
$x = x^{(1)}+x^{(2)}=a \cos((\omega_0+\omega_1) t)+x^{(2)}$
Подставляем и отбрасываем все члены выше второго порядка малости

Вот если это выражение $x$ подставите в то уравнение движения, которое написано в книге, то в его левой стороне вторая производная по времени от косинуса даст слагаемое $$-(\omega_0+\omega_1)^2x^{(1)} \approx -\omega_0^2x^{(1)}-2\omega_0\omega_1x^{(1)}$$ т.е. слагаемое $2\omega_0\omega_1x^{(1)}$ получится с правильным знаком, как в книге.


Тогда вообще непонятно откуда это слагаемое взялось?

Исходное уравнение:
$\ddot{x} + \omega_0^2x = - \alpha x^2 - \beta x^3$

Левая часть уравнения:
$\ddot{x}+\omega_0^2 x =\ddot{x}^{(1)}+\ddot{x}^{(2)}+\omega_0^2 x^{(1)}+\omega_0^2 x^{(2)}=\underbrace{\ddot{x}^{(1)}+\omega_0^2 x^{(1)}}_{=0}+\ddot{x}^{(2)}+\omega_0^2 x^{(2)}$

Правая часть:
$- \alpha x^2 = - \alpha (x^{(1)}+x^{(2)})^2=- \alpha x^{(1)}^2 - 2\alpha \underbrace{x^{(1)}x^{(2)}}_{=0}-\alpha \underbrace{x^{(2)}^2}_{=0}=- \alpha a^2 \cos^2(\omega t)$

Итог:
$\ddot{x}^{(2)}+\omega_0^2 x^{(2)} = - \alpha a^2 \cos^2(\omega t)$

 Профиль  
                  
 
 Re: ЛЛ т.1. Ангармонические колебания. Опечатка?
Сообщение09.10.2021, 22:50 
Заслуженный участник


29/09/14
947
Производную от косинуса не надо лениться посчитать. Вот в этом месте у Вас ошибка:
kzv в сообщении #1534435 писал(а):
Левая часть уравнения:
$ ... =\underbrace{\ddot{x}^{(1)}+\omega_0^2 x^{(1)}}_{=0}+...$

Не равна нулю эта сумма (до тех пор, пока не выберем $\omega_1=0;$ но этот выбор будет сделан позже, а на данном этапе у нас ещё нет обоснования такому выбору). Поскольку подставляем в эту сумму выражение $x^{(1)}=a \cos((\omega_0+\omega_1) t),$ то, как я Вам уже писал, вторая производная имеет вид $$\ddot{x}^{(1)}=-(\omega_0+\omega_1)^2x^{(1)} \approx -\omega_0^2x^{(1)}-2\omega_0\omega_1x^{(1)}$$ Поэтому та сумма, которую Вы необоснованно объявляете равной нулю, на самом деле равна выражению $-2\omega_0\omega_1x^{(1)}.$

 Профиль  
                  
 
 Re: ЛЛ т.1. Ангармонические колебания. Опечатка?
Сообщение10.10.2021, 11:58 


15/09/20
53
Cos(x-pi/2) в сообщении #1534437 писал(а):
Производную от косинуса не надо лениться посчитать. Вот в этом месте у Вас ошибка:
kzv в сообщении #1534435 писал(а):
Левая часть уравнения:
$ ... =\underbrace{\ddot{x}^{(1)}+\omega_0^2 x^{(1)}}_{=0}+...$

Не равна нулю эта сумма (до тех пор, пока не выберем $\omega_1=0;$ но этот выбор будет сделан позже, а на данном этапе у нас ещё нет обоснования такому выбору). Поскольку подставляем в эту сумму выражение $x^{(1)}=a \cos((\omega_0+\omega_1) t),$ то, как я Вам уже писал, вторая производная имеет вид $$\ddot{x}^{(1)}=-(\omega_0+\omega_1)^2x^{(1)} \approx -\omega_0^2x^{(1)}-2\omega_0\omega_1x^{(1)}$$ Поэтому та сумма, которую Вы необоснованно объявляете равной нулю, на самом деле равна выражению $-2\omega_0\omega_1x^{(1)}.$

Спасибо, разобрался!

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 6 ] 

Модераторы: whiterussian, Jnrty, profrotter, Парджеттер, Eule_A, Pphantom, photon, Aer, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group