2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки


Правила форума


Посмотреть правила форума



Начать новую тему Ответить на тему
 
 Множество порождающих элементов конечной циклической группы
Сообщение07.10.2021, 21:17 


07/10/21
3
Я хочу доказать, что множество порождающих элементов конечной циклической группы $G$ порядка $n$, состоит из тех степеней $x^\nu$ элемента $x$, в которых показатель $\nu$ взаимно прост с $n$. Если элемент $x^\nu$ является порождающим тогда и только тогда, когда его порядок равен порядку группы $G$, то это равносильно $\frac{n}{(n,\nu)}=ordx^\nu=n$, где $ordx^\nu$ обозначает порядок элемента $x^\nu$, а значит, $(n,\nu)=1$, т.е числа $n$ и $\nu$ должны быть взаимно простыми. Я не до конца понимаю, почему элемент $x^\nu$ является порождающим тогда и только тогда, когда его порядок равен порядку группы $G$. Интуитивно ясно, что это как-то связано с тем, что порядок группы является также мощностью этой группы, но мне хотелось бы формально доказать это. Как это можно сделать?

 Профиль  
                  
 
 Re: Множество порождающих элементов конечной циклической группы
Сообщение07.10.2021, 23:29 


07/10/21
3
Появились кое-какие мысли:
1)необходимость следует из того, что равные конечные группы содержат равное число элементов. Пусть $\left\langle x\right\rangle=\left\langle x^\nu\right\rangle$. Тогда $\left\lvert \left\langle x \right\rangle \right\rvert=\left\lvert \left\langle x^\nu \right\rangle \right\rvert$. Если $ordx=n$ и $ordx^\nu=n'$, причем $n\ne n'$, то $\left\lvert \left\langle x \right\rangle \right\rvert=ordx=n\ne n'=ordx^\nu=\left\lvert \left\langle x^\nu \right\rangle \right\rvert$. Таким образом, $ordx=ordx^\nu$.
2)доказывая достаточность, получилось доказать включение $ \left\langle x^\nu \right\rangle\subseteq \left\langle x \right\rangle$.

 Профиль  
                  
 
 Re: Множество порождающих элементов конечной циклической группы
Сообщение08.10.2021, 10:29 
Заслуженный участник


14/10/14
992
1) Пусть $x\in G$ -- произвольный элемент произвольной группы. Докажите, что множество $\{x^n|n=0,\pm 1, \pm 2,...\}\subset G$ -- подгруппа. Она называется подгруппа, порождённая элементом $x$.
2) Пусть порядок $x$ равен $d\in\mathbb N$, то есть $x,x^2,x^3,...,x^{d-1}\ne 1$, а $x^d=1$. Докажите, что подгруппа, порождённая $x$, конечна. Докажите, что количество её элементов не более $d$. Докажите, что оно в точности равно $d$.

 Профиль  
                  
 
 Re: Множество порождающих элементов конечной циклической группы
Сообщение08.10.2021, 20:40 


07/10/21
3
Slav-27 в сообщении #1534256 писал(а):
1) Пусть $x\in G$ -- произвольный элемент произвольной группы. Докажите, что множество $\{x^n|n=0,\pm 1, \pm 2,...\}\subset G$ -- подгруппа. Она называется подгруппа, порождённая элементом $x$.
2) Пусть порядок $x$ равен $d\in\mathbb N$, то есть $x,x^2,x^3,...,x^{d-1}\ne 1$, а $x^d=1$. Докажите, что подгруппа, порождённая $x$, конечна. Докажите, что количество её элементов не более $d$. Докажите, что оно в точности равно $d$.

1)Тривиальная проверка, опирающаяся на то, что $x^0=e$ и $x^m\cdot x^n=x^{m+n}$ и $(x^m)^{-1}=x^{-m}$ для $m,n\in\mathbb Z$.
2) Рассмотрим множества $\alpha=\{x^n|n\in \mathbb{Z}\}$ и $\beta=\{x^k|k\in \mathbb N, 0\leqslant k\leqslant d-1\}$. Если $y\in \alpha$, то $y=x^n=x^{db+r}=x^{db}\cdot x^r=x^r\in\beta$, где $0\leqslant r \leqslant d-1$. Значит, $\alpha\subseteq \beta$. Второе включение очевидно. Значит, $\alpha=\beta$. Так как $\beta$, очевидно, конечно, то и $\alpha$ конечно. Отсюда также следуют утверждения о количестве элементов. Я ведь, кстати, пользовался этим фактом, когда доказывал необходимость, только тогда взял его из Винберга: он там доказывал это. Чтобы доказать достаточность, осталось воспользоваться доказанным мной включением и предположить, что существует элемент $x$ такой, что $x\notin\left\langle x^\nu \right\rangle, x\in \left\langle x\right\rangle$. Отсюда следует, что у них разные мощности. Противоречие. Значит, они равны.
Всё верно написал?

 Профиль  
                  
 
 Re: Множество порождающих элементов конечной циклической группы
Сообщение09.10.2021, 11:27 
Заслуженный участник


14/10/14
992
j0rb2ru в сообщении #1534309 писал(а):
Отсюда также следуют утверждения о количестве элементов.
А понятно ли, почему в $\beta$ не может быть меньше $d$ элементов?

Досюда всё правильно. Дальше, вероятно, тоже, но мне трудно следить рассуждение: что там достаточно и для чего?

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 5 ] 

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group