Множество порождающих элементов конечной циклической группы

[j0rb2ru]

Я хочу доказать, что множество порождающих элементов конечной циклической группы $G$ порядка $n$, состоит из тех степеней $x^\nu$ элемента $x$, в которых показатель $\nu$ взаимно прост с $n$. Если элемент $x^\nu$ является порождающим тогда и только тогда, когда его порядок равен порядку группы $G$, то это равносильно $\frac{n}{(n,\nu)}=ordx^\nu=n$, где $ordx^\nu$ обозначает порядок элемента $x^\nu$, а значит, $(n,\nu)=1$, т.е числа $n$ и $\nu$ должны быть взаимно простыми. Я не до конца понимаю, почему элемент $x^\nu$ является порождающим тогда и только тогда, когда его порядок равен порядку группы $G$. Интуитивно ясно, что это как-то связано с тем, что порядок группы является также мощностью этой группы, но мне хотелось бы формально доказать это. Как это можно сделать?

[j0rb2ru]

Появились кое-какие мысли:
1)необходимость следует из того, что равные конечные группы содержат равное число элементов. Пусть $\left\langle x\right\rangle=\left\langle x^\nu\right\rangle$. Тогда $\left\lvert \left\langle x \right\rangle \right\rvert=\left\lvert \left\langle x^\nu \right\rangle \right\rvert$. Если $ordx=n$ и $ordx^\nu=n'$, причем $n\ne n'$, то $\left\lvert \left\langle x \right\rangle \right\rvert=ordx=n\ne n'=ordx^\nu=\left\lvert \left\langle x^\nu \right\rangle \right\rvert$. Таким образом, $ordx=ordx^\nu$.
2)доказывая достаточность, получилось доказать включение $ \left\langle x^\nu \right\rangle\subseteq \left\langle x \right\rangle$.

[Slav-27]

1) Пусть $x\in G$ -- произвольный элемент произвольной группы. Докажите, что множество $\{x^n|n=0,\pm 1, \pm 2,...\}\subset G$ -- подгруппа. Она называется подгруппа, порождённая элементом $x$.
2) Пусть порядок $x$ равен $d\in\mathbb N$, то есть $x,x^2,x^3,...,x^{d-1}\ne 1$, а $x^d=1$. Докажите, что подгруппа, порождённая $x$, конечна. Докажите, что количество её элементов не более $d$. Докажите, что оно в точности равно $d$.

[j0rb2ru]

Slav-27 в сообщении #1534256 писал(а):

1) Пусть $x\in G$ -- произвольный элемент произвольной группы. Докажите, что множество $\{x^n|n=0,\pm 1, \pm 2,...\}\subset G$ -- подгруппа. Она называется подгруппа, порождённая элементом $x$.
2) Пусть порядок $x$ равен $d\in\mathbb N$, то есть $x,x^2,x^3,...,x^{d-1}\ne 1$, а $x^d=1$. Докажите, что подгруппа, порождённая $x$, конечна. Докажите, что количество её элементов не более $d$. Докажите, что оно в точности равно $d$.

1)Тривиальная проверка, опирающаяся на то, что $x^0=e$ и $x^m\cdot x^n=x^{m+n}$ и $(x^m)^{-1}=x^{-m}$ для $m,n\in\mathbb Z$.
2) Рассмотрим множества $\alpha=\{x^n|n\in \mathbb{Z}\}$ и $\beta=\{x^k|k\in \mathbb N, 0\leqslant k\leqslant d-1\}$. Если $y\in \alpha$, то $y=x^n=x^{db+r}=x^{db}\cdot x^r=x^r\in\beta$, где $0\leqslant r \leqslant d-1$. Значит, $\alpha\subseteq \beta$. Второе включение очевидно. Значит, $\alpha=\beta$. Так как $\beta$, очевидно, конечно, то и $\alpha$ конечно. Отсюда также следуют утверждения о количестве элементов. Я ведь, кстати, пользовался этим фактом, когда доказывал необходимость, только тогда взял его из Винберга: он там доказывал это. Чтобы доказать достаточность, осталось воспользоваться доказанным мной включением и предположить, что существует элемент $x$ такой, что $x\notin\left\langle x^\nu \right\rangle, x\in \left\langle x\right\rangle$. Отсюда следует, что у них разные мощности. Противоречие. Значит, они равны.
Всё верно написал?

[Slav-27]

j0rb2ru в сообщении #1534309 писал(а):

Отсюда также следуют утверждения о количестве элементов.

А понятно ли, почему в $\beta$ не может быть меньше $d$ элементов?

Досюда всё правильно. Дальше, вероятно, тоже, но мне трудно следить рассуждение: что там достаточно и для чего?