Обратное тождество Брахмагупты

[Crystaly]

Известно "Тождество Брахмагупты" (произведение двух сумм квадратов является суммой квадратов, причем двояким образом).
Вопросы:
1) (Известно ли) Можно ли получить "обратное" тождество?
То есть, имея $a^2+b^2=c^2+d^2$ получить $\left(x^2+y^2\right)\left(z^2+w^2\right)$
выразить $x,y,z,w$ через $a,b,c,d$
2) Я проверил - существует аналогичное тождество для разностей квадратов (произведение двух разностей квадратов является разностью квадратов, причем двояким образом)
но почему-то об этом мало информации, и на всех ресурсах посвященных "Тождеству Брахмагупты" об этом ни слова??? Неужели сам Брахмагупта не поинтересовался - а не работает ли аналогичная формула не только для суммы квадратов, но и для разностей квадратов тоже? Почему было не обобщить эти формулы вместе?

[zykov]

Crystaly в сообщении #1534130 писал(а):

существует аналогичное тождество для разностей квадратов

Подставьте в тождество для суммы $ib$ вместо $b$ и $id$ вместо $d$, получите разность квадратов.

[Crystaly]

zykov в сообщении #1534139 писал(а):

Crystaly в сообщении #1534130 писал(а):

существует аналогичное тождество для разностей квадратов

Подставьте в тождество для суммы $ib$ вместо $b$ и $id$ вместо $d$, получите разность квадратов.

Исходно как-бы да, будет разность квадратов. Но в результате получится представление в комплексных числах, а не в действительных.
Я сейчас понял, что сумма (разность) двух квадратов может быть простым числом, а значит не может быть представлена как произведение двух сумм (разностей) квадратов.
Ну и общая формула соответственно быть не может ?

[zykov]

Crystaly в сообщении #1534164 писал(а):

Но в результате получится представление в комплексных числах, а не в действительных.

Нет, получится в действительных. $i^2=-1$ - действительное число.

Crystaly в сообщении #1534164 писал(а):

(разность) квадратов разложима на множители или нет?

$a^2-b^2=(a-b)(a+b)$

[RIP]

2) Да даже в Википедии тождество даётся в более общем виде, включающем как сумму, так и разность квадратов.
Можно и ещё немного обобщить: если $Q(x,y)=x^2+mxy+ny^2$, то

$$Q\left(x_1,y_1\right)Q\left(x_2,y_2\right)=Q\left(x_1x_2-ny_1y_2,x_1y_2+x_2y_1+my_1y_2\right).$$

[Crystaly]

zykov в сообщении #1534165 писал(а):

Нет, получится в действительных. $i^2=-1$ - действительное число.

Да верно, $i$ в результате пропадает, не доглядел.

RIP в сообщении #1534175 писал(а):

Да даже в Википедии тождество даётся в более общем виде, включающем как сумму, так и разность квадратов

Простите, плиз ткните пальцем где именно дается? В каком разделе статьи?
В разделе "Решение уравнения Пелля" совсем вскользь приводится пример с минусами. Но на всей странице вообще нет слова "разность".

Но тем не менее, вызывает недоумение почему тождество Брахмагупты не формулируется в "общем виде" с плюсами и минусами.
Общепризнанна такая формулировка (цитата из Википедии):
"Тождество Брахмагупты — Фибоначчи, называемое также тождеством Брахмагупты или тождеством Диофанта — алгебраическое тождество, показывающее, как произведение двух сумм квадратов можно представить в виде суммы квадратов (причём двумя способами)"
Было бы логично сформулировано немного иначе:
"Тождество ... — алгебраическое тождество, показывающее, как произведение двух сумм (разностей) квадратов можно представить в виде суммы (разностей) квадратов (причём двумя способами)"

[nnosipov]

Crystaly в сообщении #1534203 писал(а):

Но на всей странице вообще нет слова "разность".

В формулах (3) и (4) возьмите $n=-1$ и будет Вам разность.

-- Чт окт 07, 2021 20:17:47 --

RIP в сообщении #1534175 писал(а):

Можно и ещё немного обобщить

И вообще, норма произведения равна произведению норм.

[Батороев]

Crystaly в сообщении #1534130 писал(а):

2) Я проверил - существует аналогичное тождество для разностей квадратов (произведение двух разностей квадратов является разностью квадратов, причем двояким образом)

Если рассматривать 2) в области натуральных чисел, то фраза "причем двояким образом" будет справедлива только для произведения двух простых чисел, составляющих "произведение двух разностей". Во всех других случаях - число представлений в виде "разности квадратов" будет в разы больше.

[Andrey A]

Crystaly в сообщении #1534130 писал(а):

Можно ли получить "обратное" тождество?
То есть, имея $a^2+b^2=c^2+d^2$ получить $\left(x^2+y^2\right)\left(z^2+w^2\right)$

Для взаимно простых $(x,y)\ (z,w)$ можно так: $\dfrac{x}{y}=\sqrt{ \dfrac{(a+c)^2-(b+d)^2}{(b-d)^2-(a-c)^2} },\ \dfrac{z}{w}=\sqrt{ \dfrac{(a+c)^2-(b-d)^2}{(b+d)^2-(a-c)^2} }.$ Но без особой уверенности, не помню как это выводилось. Если результат в $n^2$ меньше, ну домножьте $\dfrac{xn}{yn}.$

Crystaly в сообщении #1534130 писал(а):

Почему было не обобщить эти формулы вместе?

Поможем Брахмагупте:

$$\left ( acB^2-bdA^2 \right )\left ( bcD^2-adC^2 \right )=ab\left ( cBD \pm dAC \right )^2-cd\left ( aBC \pm bAD \right )^2$$

$$\left ( acB^2+bdA^2 \right )\left ( bcD^2+adC^2 \right )=ab\left ( cBD \pm dAC \right )^2+cd\left ( aBC \mp bAD \right )^2$$

[RIP]

(Оффтоп)

nnosipov в сообщении #1534204 писал(а):

И вообще, норма произведения равна произведению норм.

Ну да, так я его и получил. Просто лень было объяснять про нормы.