2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки




Начать новую тему Ответить на тему
 
 Обратное тождество Брахмагупты
Сообщение06.10.2021, 13:38 


07/01/13
13
Известно "Тождество Брахмагупты" (произведение двух сумм квадратов является суммой квадратов, причем двояким образом).
Вопросы:
1) (Известно ли) Можно ли получить "обратное" тождество?
То есть, имея $a^2+b^2=c^2+d^2$ получить $\left(x^2+y^2\right)\left(z^2+w^2\right)$
выразить $x,y,z,w$ через $a,b,c,d$
2) Я проверил - существует аналогичное тождество для разностей квадратов (произведение двух разностей квадратов является разностью квадратов, причем двояким образом)
но почему-то об этом мало информации, и на всех ресурсах посвященных "Тождеству Брахмагупты" об этом ни слова??? Неужели сам Брахмагупта не поинтересовался - а не работает ли аналогичная формула не только для суммы квадратов, но и для разностей квадратов тоже? Почему было не обобщить эти формулы вместе?

 Профиль  
                  
 
 Re: Обратное тождество Брахмагупты
Сообщение06.10.2021, 14:11 


18/09/21
628
Crystaly в сообщении #1534130 писал(а):
существует аналогичное тождество для разностей квадратов
Подставьте в тождество для суммы $ib$ вместо $b$ и $id$ вместо $d$, получите разность квадратов.

 Профиль  
                  
 
 Re: Обратное тождество Брахмагупты
Сообщение06.10.2021, 17:11 


07/01/13
13
zykov в сообщении #1534139 писал(а):
Crystaly в сообщении #1534130 писал(а):
существует аналогичное тождество для разностей квадратов
Подставьте в тождество для суммы $ib$ вместо $b$ и $id$ вместо $d$, получите разность квадратов.
Исходно как-бы да, будет разность квадратов. Но в результате получится представление в комплексных числах, а не в действительных.
Я сейчас понял, что сумма (разность) двух квадратов может быть простым числом, а значит не может быть представлена как произведение двух сумм (разностей) квадратов.
Ну и общая формула соответственно быть не может ?

 Профиль  
                  
 
 Re: Обратное тождество Брахмагупты
Сообщение06.10.2021, 17:18 


18/09/21
628
Crystaly в сообщении #1534164 писал(а):
Но в результате получится представление в комплексных числах, а не в действительных.
Нет, получится в действительных. $i^2=-1$ - действительное число.
Crystaly в сообщении #1534164 писал(а):
(разность) квадратов разложима на множители или нет?
$a^2-b^2=(a-b)(a+b)$

 Профиль  
                  
 
 Re: Обратное тождество Брахмагупты
Сообщение06.10.2021, 21:19 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


11/01/06
3665
2) Да даже в Википедии тождество даётся в более общем виде, включающем как сумму, так и разность квадратов.
Можно и ещё немного обобщить: если $Q(x,y)=x^2+mxy+ny^2$, то
$$Q\left(x_1,y_1\right)Q\left(x_2,y_2\right)=Q\left(x_1x_2-ny_1y_2,x_1y_2+x_2y_1+my_1y_2\right).$$

 Профиль  
                  
 
 Re: Обратное тождество Брахмагупты
Сообщение07.10.2021, 16:12 


07/01/13
13
zykov в сообщении #1534165 писал(а):
Нет, получится в действительных. $i^2=-1$ - действительное число.
Да верно, $i$ в результате пропадает, не доглядел.

RIP в сообщении #1534175 писал(а):
Да даже в Википедии тождество даётся в более общем виде, включающем как сумму, так и разность квадратов
Простите, плиз ткните пальцем где именно дается? В каком разделе статьи?
В разделе "Решение уравнения Пелля" совсем вскользь приводится пример с минусами. Но на всей странице вообще нет слова "разность".

Но тем не менее, вызывает недоумение почему тождество Брахмагупты не формулируется в "общем виде" с плюсами и минусами.
Общепризнанна такая формулировка (цитата из Википедии):
"Тождество Брахмагупты — Фибоначчи, называемое также тождеством Брахмагупты или тождеством Диофанта — алгебраическое тождество, показывающее, как произведение двух сумм квадратов можно представить в виде суммы квадратов (причём двумя способами)"
Было бы логично сформулировано немного иначе:
"Тождество ... — алгебраическое тождество, показывающее, как произведение двух сумм (разностей) квадратов можно представить в виде суммы (разностей) квадратов (причём двумя способами)"

 Профиль  
                  
 
 Re: Обратное тождество Брахмагупты
Сообщение07.10.2021, 16:16 
Заслуженный участник


20/12/10
8253
Crystaly в сообщении #1534203 писал(а):
Но на всей странице вообще нет слова "разность".
В формулах (3) и (4) возьмите $n=-1$ и будет Вам разность.

-- Чт окт 07, 2021 20:17:47 --

RIP в сообщении #1534175 писал(а):
Можно и ещё немного обобщить
И вообще, норма произведения равна произведению норм.

 Профиль  
                  
 
 Re: Обратное тождество Брахмагупты
Сообщение07.10.2021, 17:10 


23/01/07
3351
Новосибирск
Crystaly в сообщении #1534130 писал(а):
2) Я проверил - существует аналогичное тождество для разностей квадратов (произведение двух разностей квадратов является разностью квадратов, причем двояким образом)

Если рассматривать 2) в области натуральных чисел, то фраза "причем двояким образом" будет справедлива только для произведения двух простых чисел, составляющих "произведение двух разностей". Во всех других случаях - число представлений в виде "разности квадратов" будет в разы больше.

 Профиль  
                  
 
 Re: Обратное тождество Брахмагупты
Сообщение07.10.2021, 21:24 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


21/11/12
1295
Санкт-Петербург
Crystaly в сообщении #1534130 писал(а):
Можно ли получить "обратное" тождество?
То есть, имея $a^2+b^2=c^2+d^2$ получить $\left(x^2+y^2\right)\left(z^2+w^2\right)$

Для взаимно простых $(x,y)\ (z,w)$ можно так: $\dfrac{x}{y}=\sqrt{ \dfrac{(a+c)^2-(b+d)^2}{(b-d)^2-(a-c)^2} },\ \dfrac{z}{w}=\sqrt{ \dfrac{(a+c)^2-(b-d)^2}{(b+d)^2-(a-c)^2} }.$ Но без особой уверенности, не помню как это выводилось. Если результат в $n^2$ меньше, ну домножьте $\dfrac{xn}{yn}.$

Crystaly в сообщении #1534130 писал(а):
Почему было не обобщить эти формулы вместе?

Поможем Брахмагупте:
$$\left ( acB^2-bdA^2 \right )\left ( bcD^2-adC^2 \right )=ab\left ( cBD \pm dAC \right )^2-cd\left ( aBC \pm bAD \right )^2$$ $$\left ( acB^2+bdA^2 \right )\left ( bcD^2+adC^2 \right )=ab\left ( cBD \pm dAC \right )^2+cd\left ( aBC \mp bAD \right )^2$$

 Профиль  
                  
 
 Re: Обратное тождество Брахмагупты
Сообщение07.10.2021, 21:26 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


11/01/06
3665

(Оффтоп)

nnosipov в сообщении #1534204 писал(а):
И вообще, норма произведения равна произведению норм.
Ну да, так я его и получил. Просто лень было объяснять про нормы.

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 10 ] 

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: YandexBot [bot]


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group