2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки




Начать новую тему Ответить на тему
 
 Обратное тождество Брахмагупты
Сообщение06.10.2021, 13:38 


07/01/13
13
Известно "Тождество Брахмагупты" (произведение двух сумм квадратов является суммой квадратов, причем двояким образом).
Вопросы:
1) (Известно ли) Можно ли получить "обратное" тождество?
То есть, имея $a^2+b^2=c^2+d^2$ получить $\left(x^2+y^2\right)\left(z^2+w^2\right)$
выразить $x,y,z,w$ через $a,b,c,d$
2) Я проверил - существует аналогичное тождество для разностей квадратов (произведение двух разностей квадратов является разностью квадратов, причем двояким образом)
но почему-то об этом мало информации, и на всех ресурсах посвященных "Тождеству Брахмагупты" об этом ни слова??? Неужели сам Брахмагупта не поинтересовался - а не работает ли аналогичная формула не только для суммы квадратов, но и для разностей квадратов тоже? Почему было не обобщить эти формулы вместе?

 Профиль  
                  
 
 Re: Обратное тождество Брахмагупты
Сообщение06.10.2021, 14:11 


18/09/21
639
Crystaly в сообщении #1534130 писал(а):
существует аналогичное тождество для разностей квадратов
Подставьте в тождество для суммы $ib$ вместо $b$ и $id$ вместо $d$, получите разность квадратов.

 Профиль  
                  
 
 Re: Обратное тождество Брахмагупты
Сообщение06.10.2021, 17:11 


07/01/13
13
zykov в сообщении #1534139 писал(а):
Crystaly в сообщении #1534130 писал(а):
существует аналогичное тождество для разностей квадратов
Подставьте в тождество для суммы $ib$ вместо $b$ и $id$ вместо $d$, получите разность квадратов.
Исходно как-бы да, будет разность квадратов. Но в результате получится представление в комплексных числах, а не в действительных.
Я сейчас понял, что сумма (разность) двух квадратов может быть простым числом, а значит не может быть представлена как произведение двух сумм (разностей) квадратов.
Ну и общая формула соответственно быть не может ?

 Профиль  
                  
 
 Re: Обратное тождество Брахмагупты
Сообщение06.10.2021, 17:18 


18/09/21
639
Crystaly в сообщении #1534164 писал(а):
Но в результате получится представление в комплексных числах, а не в действительных.
Нет, получится в действительных. $i^2=-1$ - действительное число.
Crystaly в сообщении #1534164 писал(а):
(разность) квадратов разложима на множители или нет?
$a^2-b^2=(a-b)(a+b)$

 Профиль  
                  
 
 Re: Обратное тождество Брахмагупты
Сообщение06.10.2021, 21:19 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


11/01/06
3665
2) Да даже в Википедии тождество даётся в более общем виде, включающем как сумму, так и разность квадратов.
Можно и ещё немного обобщить: если $Q(x,y)=x^2+mxy+ny^2$, то
$$Q\left(x_1,y_1\right)Q\left(x_2,y_2\right)=Q\left(x_1x_2-ny_1y_2,x_1y_2+x_2y_1+my_1y_2\right).$$

 Профиль  
                  
 
 Re: Обратное тождество Брахмагупты
Сообщение07.10.2021, 16:12 


07/01/13
13
zykov в сообщении #1534165 писал(а):
Нет, получится в действительных. $i^2=-1$ - действительное число.
Да верно, $i$ в результате пропадает, не доглядел.

RIP в сообщении #1534175 писал(а):
Да даже в Википедии тождество даётся в более общем виде, включающем как сумму, так и разность квадратов
Простите, плиз ткните пальцем где именно дается? В каком разделе статьи?
В разделе "Решение уравнения Пелля" совсем вскользь приводится пример с минусами. Но на всей странице вообще нет слова "разность".

Но тем не менее, вызывает недоумение почему тождество Брахмагупты не формулируется в "общем виде" с плюсами и минусами.
Общепризнанна такая формулировка (цитата из Википедии):
"Тождество Брахмагупты — Фибоначчи, называемое также тождеством Брахмагупты или тождеством Диофанта — алгебраическое тождество, показывающее, как произведение двух сумм квадратов можно представить в виде суммы квадратов (причём двумя способами)"
Было бы логично сформулировано немного иначе:
"Тождество ... — алгебраическое тождество, показывающее, как произведение двух сумм (разностей) квадратов можно представить в виде суммы (разностей) квадратов (причём двумя способами)"

 Профиль  
                  
 
 Re: Обратное тождество Брахмагупты
Сообщение07.10.2021, 16:16 
Заслуженный участник


20/12/10
8255
Crystaly в сообщении #1534203 писал(а):
Но на всей странице вообще нет слова "разность".
В формулах (3) и (4) возьмите $n=-1$ и будет Вам разность.

-- Чт окт 07, 2021 20:17:47 --

RIP в сообщении #1534175 писал(а):
Можно и ещё немного обобщить
И вообще, норма произведения равна произведению норм.

 Профиль  
                  
 
 Re: Обратное тождество Брахмагупты
Сообщение07.10.2021, 17:10 


23/01/07
3351
Новосибирск
Crystaly в сообщении #1534130 писал(а):
2) Я проверил - существует аналогичное тождество для разностей квадратов (произведение двух разностей квадратов является разностью квадратов, причем двояким образом)

Если рассматривать 2) в области натуральных чисел, то фраза "причем двояким образом" будет справедлива только для произведения двух простых чисел, составляющих "произведение двух разностей". Во всех других случаях - число представлений в виде "разности квадратов" будет в разы больше.

 Профиль  
                  
 
 Re: Обратное тождество Брахмагупты
Сообщение07.10.2021, 21:24 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


21/11/12
1295
Санкт-Петербург
Crystaly в сообщении #1534130 писал(а):
Можно ли получить "обратное" тождество?
То есть, имея $a^2+b^2=c^2+d^2$ получить $\left(x^2+y^2\right)\left(z^2+w^2\right)$

Для взаимно простых $(x,y)\ (z,w)$ можно так: $\dfrac{x}{y}=\sqrt{ \dfrac{(a+c)^2-(b+d)^2}{(b-d)^2-(a-c)^2} },\ \dfrac{z}{w}=\sqrt{ \dfrac{(a+c)^2-(b-d)^2}{(b+d)^2-(a-c)^2} }.$ Но без особой уверенности, не помню как это выводилось. Если результат в $n^2$ меньше, ну домножьте $\dfrac{xn}{yn}.$

Crystaly в сообщении #1534130 писал(а):
Почему было не обобщить эти формулы вместе?

Поможем Брахмагупте:
$$\left ( acB^2-bdA^2 \right )\left ( bcD^2-adC^2 \right )=ab\left ( cBD \pm dAC \right )^2-cd\left ( aBC \pm bAD \right )^2$$ $$\left ( acB^2+bdA^2 \right )\left ( bcD^2+adC^2 \right )=ab\left ( cBD \pm dAC \right )^2+cd\left ( aBC \mp bAD \right )^2$$

 Профиль  
                  
 
 Re: Обратное тождество Брахмагупты
Сообщение07.10.2021, 21:26 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


11/01/06
3665

(Оффтоп)

nnosipov в сообщении #1534204 писал(а):
И вообще, норма произведения равна произведению норм.
Ну да, так я его и получил. Просто лень было объяснять про нормы.

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 10 ] 

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group