Теория чисел с ПВГ

[maxmatem]

найти все тройки натуральных чисел $(m;n;k)$ такие , что

$$ m^3+n^3=k!+32$$

Меня поразило, что в авторском решении они начали рассматривать остатки от деления $m^3$ на $7$.......

чем это мотивировано ? Почему именно на 7

[StaticZero]

кубы при делении на 7 дают либо 1, либо 6; сумма двух кубов --- либо 0, либо 2, либо 5; остаток от 32 будет 4, поэтому остаётся проверить факториалы чисел до шестёрки, из которых подходят только 1 и 4, но кубы такие не найти, так что мой ответ был бы нет решений

[svv]

StaticZero в сообщении #1534085 писал(а):

кубы при делении на 7 дают либо 1, либо 6;

либо 0. Решения есть: $5^3+3^3=5!+32$. А идея правильная. Начиная с $k=7$, остаток от деления $k!+32$ на $7$ не меняется и равен $4$, чего сумма двух кубов дать не может.

[nnosipov]

maxmatem в сообщении #1534078 писал(а):

чем это мотивировано ? Почему именно на 7

Куб целого числа при делении на 7 дает сравнительно мало остатков --- всего 3 из 7 возможных. Еще лучше в этом отношении модуль 9 (здесь тоже 3 остатка, но уже из 9 возможных). Пример: уравнение $x^3+y^3+z^3=4$, которое неразрешимо по модулю 9 (но не по модулю 7).

[maxmatem]

svv
nnosipov
StaticZero
Спасибо за ответы. теперь понятно более почему остатки от деления на 7.... видимо из за сужения круга вариантов