2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки




Начать новую тему Ответить на тему
 
 Теория чисел с ПВГ
Сообщение05.10.2021, 21:48 
Аватара пользователя


15/08/09
1458
МГУ
найти все тройки натуральных чисел $(m;n;k)$ такие , что
$$ m^3+n^3=k!+32$$

Меня поразило, что в авторском решении они начали рассматривать остатки от деления $m^3$ на $7$.......

чем это мотивировано ? Почему именно на 7

 Профиль  
                  
 
 Re: Теория чисел с ПВГ
Сообщение06.10.2021, 01:16 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


22/06/12
2129
/dev/zero
кубы при делении на 7 дают либо 1, либо 6; сумма двух кубов --- либо 0, либо 2, либо 5; остаток от 32 будет 4, поэтому остаётся проверить факториалы чисел до шестёрки, из которых подходят только 1 и 4, но кубы такие не найти, так что мой ответ был бы нет решений

 Профиль  
                  
 
 Re: Теория чисел с ПВГ
Сообщение06.10.2021, 02:41 
Заслуженный участник


23/07/08
10626
Crna Gora
StaticZero в сообщении #1534085 писал(а):
кубы при делении на 7 дают либо 1, либо 6;
либо 0. Решения есть: $5^3+3^3=5!+32$. А идея правильная. Начиная с $k=7$, остаток от деления $k!+32$ на $7$ не меняется и равен $4$, чего сумма двух кубов дать не может.

 Профиль  
                  
 
 Re: Теория чисел с ПВГ
Сообщение06.10.2021, 04:08 
Заслуженный участник


20/12/10
8858
maxmatem в сообщении #1534078 писал(а):
чем это мотивировано ? Почему именно на 7
Куб целого числа при делении на 7 дает сравнительно мало остатков --- всего 3 из 7 возможных. Еще лучше в этом отношении модуль 9 (здесь тоже 3 остатка, но уже из 9 возможных). Пример: уравнение $x^3+y^3+z^3=4$, которое неразрешимо по модулю 9 (но не по модулю 7).

 Профиль  
                  
 
 Re: Теория чисел с ПВГ
Сообщение06.10.2021, 09:49 
Аватара пользователя


15/08/09
1458
МГУ
svv
nnosipov
StaticZero
Спасибо за ответы. теперь понятно более почему остатки от деления на 7.... видимо из за сужения круга вариантов

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 5 ] 

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group