Отображение кривой на плоскости на сферу.

[TelmanStud]

Доброго времени суток.
Допустим имеется гладкая кривая на плоскости $x=x(t),\,y=y(t)$.
По этой кривой катится (без проскальзывания) шар, так что точкой опоры всё время опирается на кривую. Вопрос, какая кривая получится на сфере? Существует ли, возможность явного отображения?
Кажется это отображение не будет не сюръективным и не инъективным.

[zykov]

Хм, шар может провернутся вокруг оси проходящей через точку касания. Получится другая кривая.
Надо какое-то условие добавить, как шар катится.

[TelmanStud]

Цитата:

Хм, шар может провернутся вокруг оси проходящей через точку касания.

Спасибо. Надо добавить, что кривая на сфере тоже гладкая.

[zykov]

Не только. Он может катится вдоль кривой проворачиваясь через разные оси (оси в плоскости перпендикулярной к кривой в данной точке).

Можно например потребовать, чтобы ось вращения шара всегда была параллельна плоскости кривой, если это конечно то что надо.

[TelmanStud]

Цитата:

Не только. Он может катится вдоль кривой проворачиваясь через разные оси (оси в плоскости перпендикулярной к кривой в данной точке).

Если правильно понял ,то в этом случае кривая на сфере не будет гладкой.

Цитата:

Можно например потребовать, чтобы ось вращения шара всегда была параллельна плоскости кривой

Давай те тогда еще добавим перпендикулярность к кривой.
$если это конечно то что надо.$
Задача зародилась в голове, так что любые уточнения приветствуются.

[zykov]

Перпендикулярность к кривой необходима, чтобы шар катился вдоль кривой.

[TelmanStud]

Цитата:

Перпендикулярность к кривой необходима, чтобы шар катился вдоль кривой.

Согласен!

[zykov]

Можно посмотреть на частные случаи.
Примем, что ось вращения параллельна плоскости.

Если кривая - это прямая, то на шаре траектория будет просто окружность в плоскости содержащей центра шара.
Если кривая - это окружность, то на шаре тоже будет окружность (но уже не экватор). Видно из того, что удельный угол поворота на единицу длины вдоль этой кривой на шаре постоянен.

Вообще для любой кривой, удельный угол поворота на единицу длины на шаре такой же как и на плоскости.
"удельный угол поворота на единицу длины" обычно называют кривизной кривой.