Доказать изометрию пространств

[FaiFox]

Как доказать, что пространства $\mathbb{R}_1^2$ и $\mathbb{R}_\infty^2$ - изометричны?
Рассуждаю так:
Метрики порожденные нормами в $\mathbb{R}_1^2$ и $\mathbb{R}_\infty^2$ имеют вид: $\rho_1(x,y) = |x_1 - y_1| + |x_2 - y_2|, \rho_\infty(x,y) = \max(|x_1-y_1|, |x_2-y_2|)$. Пусть $f(x) =x', x \in \mathbb{R}_1^2, x' \in \mathbb{R}_\infty^2$ - изометрия.
Тогда должно выполнятся $\max(|x'_1 - y'_1|, |x'_2 - y'_2|) = |x_1 - y_1| + |x_2 - y_2|$.
Какой следующий шаг непонятно, какой вид имеет f - тоже.

[demolishka]

FaiFox в сообщении #1533653 писал(а):

Какой следующий шаг

Надо не буквы писать, а картинки рисовать. Для начала разобраться как устроены метрики. Для этого полезно знать как выглядят сферы.

[novichok2018]

Изометрия операторов - стандартное понятие. Для пространств - не так часто встречаются. Так есть тут изометрия?

[FaiFox]

Решила так $f(x) = (x_1 + x_2, x_1 - x_2)$, тогда $\max(|(x_1 - y_1) + (x_2 - y_2)|, |(x_1 - y_1) - (x_2 - y_2)|)$, дальше, если рассмотреть знак $(x_1 - y_1), (x_2 - y_2)$, то вроде всё сходится.
Правда, есть похожая задача доказать не изометричность $\mathbb{R}^{n}_{1}$ и $\mathbb{R}^{n}_\infty$, при $n>2$, тут как-то совсем непонятно как доказывать.

[demolishka]

FaiFox в сообщении #1533807 писал(а):

Решила так $f(x) = (x_1 + x_2, x_1 - x_2)$,

Картинки Вы видимо не рисовали. Иначе нельзя объяснить как Вы додумались до отображения, меняющего ориентацию. А картинка бы намекнула, что достаточно повернуть и растянуть.

FaiFox в сообщении #1533807 писал(а):

Правда, есть похожая задача доказать не изометричность $\mathbb{R}^{n}_{1}$ и $\mathbb{R}^{n}_\infty$, при $n>2$, тут как-то совсем непонятно как доказывать.

Это - хорошая задача. Забрал к себе в список. Если Вы не хотите получить удовольствие от ее решения, то могу дать набросок.

[мат-ламер]

novichok2018 в сообщении #1533695 писал(а):

Изометрия операторов - стандартное понятие. Для пространств - не так часто встречаются.

А что есть изометричные пространства? Понятно, что нормы согласованы и задают одну и ту же топологию.

-- Пн окт 04, 2021 20:44:20 --

мат-ламер в сообщении #1533925 писал(а):

А что есть изометричные пространства?

То есть существует биективное отображение, сохраняющее метрику? Тогда понятно.

-- Пн окт 04, 2021 20:48:02 --

Изометричность эквивалентна согласованности норм?

[demolishka]

мат-ламер в сообщении #1533925 писал(а):

биективное отображение, сохраняющее метрику

Да.

мат-ламер в сообщении #1533925 писал(а):

Изометричность эквивалентна согласованности норм

Если под согласованностью норм Вы понимаете эквивалентность задаваемых топологий (или, что для норм (но не для метрик) то же самое, что двустороннее неравенство с константами), то конечно нет.

[мат-ламер]

demolishka в сообщении #1533932 писал(а):

то конечно нет.

Спасибо. В данном случае наверное просто линии уровня похоже устроены (повернуть, масштабировать).

-- Пн окт 04, 2021 21:20:51 --

мат-ламер в сообщении #1533937 писал(а):

В данном случае наверное просто линии уровня похоже устроены (повернуть, масштабировать).

Имеется в виду для $n=2$ . А для $n=3$ куб и октаэдр просто так не совместишь.

[FaiFox]

demolishka в сообщении #1533923 писал(а):

Картинки Вы видимо не рисовали. Иначе нельзя объяснить как Вы додумались до отображения, меняющего ориентацию. А картинка бы намекнула, что достаточно повернуть и растянуть.

Почему же, там получается ромб и квадрат, так собственно и было сделано, а то, что поменялась ориентация, так это случайно. Просто поворот кажется получается если $f((x_1, x_2)) = (x_1 - x_2, x_1 + x_2)$. Тем не менее моя функция всё равно подходит. Какая же идея для случая n > 2?

[demolishka]

FaiFox, ну смотрите. Начнем с простого. При, как в нашем случае биективных, изометриях сферы отображаются в сферы, а шары отображаются в шары. Давайте я разберу случай $n=3$ для определенности. Шары в метрике $\varrho_{\infty}$ это кубы, а в $\varrho_{1}$ - октаэдры, а сферы - их границы. Будем доказывать от противного, т. е. в предположении, что биективная изометрия существует. Сыграем на том, что у куба 6 граней, а у октаэдра их 8.

Шаг 1. Рассмотрим покрытие граней единичного куба $Q$ (замкнутого единичного шара в метрике $\varrho_{\infty}$) маленькими кубиками $Q_{j}$, $j=1,\ldots,N$ радиуса $\frac{1}{k}$. Причем выберем эти кубики так, чтобы их внутренности лежали во внутренности $Q$, а на границе $Q$ пересечение двух маленьких кубиков происходило только по ребрам. Таким образом, грани куба $Q$ покрываются гранями кубиков $Q_{k}$. За исключением ситуаций, когда ребро $Q_{k}$ примыкает к ребру $Q$ и грани кубика $Q_{k}$ могут затрагивать несколько граней $Q$, маленький кубик $Q_{k}$ касается ровно одной гранью какой-то из граней куба $Q$. Поэтому таких кубиков всего порядка $N \sim 6 k^2$.

Шаг 2. Образ $Q$ при изометрии есть единичный октаэдр $\mathcal{O}$ (замкнутый единичный шар в метрике $\varrho_{1}$). Образы маленьких кубиков $Q_{k}$ - это маленькие октаэдры-шары радиуса $\frac{1}{k}$, которые образуют хорошее покрытие граней октаэдра $\mathcal{O}$, т. е. их внутренности лежат во внутренности $\mathcal{O}$, а пересечения на границе $\mathcal{O}$ происходят только по граням. Из-за этого опять же, типичный маленький октаэдр касается ровно одной своей гранью какой-то из граней $\mathcal{O}$. Но тогда на покрытие одной грани нужно порядка $k^2$ таких октаэдров. А значит, всего их должно быть порядка $8k^2$, что приводит к противоречию, так как мы смогли покрыть грани октаэдрами, число которых порядка $6k^2$.