Два бруска и трение (Чертов-Воробьев 2.19)

[averagechungus]

Вроде простая задачка, а я уже второй день разобраться не могу. "На бруске массой $m_1=2\text{~кг}$ лежит брусок массок $m_2=8\text{~кг}$, трение между брусками $f_2=0.3$ а между первым бруском и столом $f_1=0.2$. К верхнему, второму, бруску приложена сила $F$. Найти $F_1$ при которой бруски начнут скользить вместе по столу и $F_2$ при которой второй брусок начнет проскальзывать относительно первого"
Задачу я технически решил. Очевидно запишем Второе уравнение Ньютона для брусков относительно стола (вроде как инерциальная система отсчета):

$$ \begin{cases} \vec{F} + \vec{F_{t2}} + \vec{N_2} + \vec{F_{21}} = m_2\vec{a_2}\\ \vec{F_{12}} + \vec{F_{t1}} + \vec{P_1} + \vec{N_1} + \vec{F_{1s}} = m_1\vec{a_1} \end{cases} $$

Где $\vec{F_{t2}}\ \vec{F_{t1}}$ это силы тяжести на второй и первый брусок, $\vec{F_{21}} = -\vec{F_{12}}$ силы трения между первым и вторым бруском, $\vec{F_{1s}}$ сила трения действующая на первый брусок со стороны стола, $\vec{N_2}\ \vec{N_1}$ силы реакции от первого бруска на второй и от стола на первый и $\vec{P_1}$ вес второго бруска на первый. Можно спроецировать на любые ортогональные оси и получить

$$a_2 = \frac{F - F_{21}}{m_2}$$ $$a_1=\frac{F_{12} - F_{1s}}{m_1}$$

Где $0\le F_{21} = F_{12}\le f_2m_2g$ и $0\le F_{1s}\le f_1(m_1+m_2)g$. Тогда $F_1 = f_1(m_1+m_2)g$ а $F_2$ находится из $a_2\ge a_1$
Вроде все просто и по ответам сходится, но есть проблема, мой собственнно вопрос. Когда сила $F$ больше максимальной силы трения покоя между первым бруском и столом $ f_1(m_1+m_2)g$ но меньше максимальной силы трения между брусками $f_2m_2g$ бруски начнут двигаться вместе, у первого бруска будет ускорение, а вот у второго - нет. Ведь когда сила $F$ меньше предельной силы трения покоя $f_2m_2g$ она этой силой трения уравновешивается в ноль. Вот и как быть? Вроде оба уравнения написаны относительно стола, инерциальной системы отсчета, ускорения у брусков до момента $a_2\ge a_1$ должны быть одинаковы, сначала ноль, потом больше него. Кто может расписать правильные уравнения, что я упускаю? Ещё бы классно получить уравнения относительно первого бруска, а то я об этом подумал, но там же неинарциальная система отсчета, сила инерции, ещё больше ускорение второго бруска уменьшает вроде.

[amon]

averagechungus в сообщении #1532197 писал(а):

Ведь когда сила $F$ меньше предельной силы трения покоя $f_2m_2g$ она этой силой трения уравновешивается в ноль. Вот и как быть?

Очень хороший вопрос. Давайте вместо сил трения привяжем верхний брусок к нижнему пружинкой, положим все силы трения нулями, что бы под ногами не путались, и проделаем ту же манипуляцию - подействуем силой $F$ на верхний брусок. Что случится с Вашими рассуждениями?

[sergey zhukov]

averagechungus
Та же задача немного иначе. Брусок, лежащий на полу, тянут с увеличивающейся силой за массивный трос. Пока сила тяги мала, все неподвижно. Когда-то брусок должен сдвинуться и начать ускоряться. Но почему должен начать ускоряться массивный трос, за который тянут брусок? Силы на его концах всегда уравновешены.

[EUgeneUS]

sergey zhukov в сообщении #1532229 писал(а):

Но почему должен начать ускоряться массивный трос, за который тянут брусок? Силы на его концах всегда уравновешены.

Чёй-та уравновешены, если массивный трос движется ускоренно?

(Оффтоп)

или это такое доведение до абсурда для улучшения понимания

[amon]

EUgeneUS в сообщении #1532251 писал(а):

это такое доведение до абсурда для улучшения понимания

Угу.

[averagechungus]

amon
Случится то, что сила упругости вообще не похожа на силу трения потому, что она зависит от положения тел в пространстве, а не сдвигающей силы, как сила трения. Можно записать $ \begin{cases} m_2a_{2x} = F - k(x_2-x_2)\\ m_1a_{1x} = k(x_2-x_1) \end{cases} $ (проекции второго закона на ось, сонаправленную с силой F) Сложить два уравнения и интегрировать до $m_2x_2 + m_1x_1 = \frac{Ft^2}{2}$ Выразить один x черз другой, подставить в одно из уравнений, решить получившийся диффур.. К моей задаче и вопросу это отношения вообще не имеет.

sergey zhukov
Вообще нет. Если тросс растяжимый, то см. выше. Если нерастежимый, то будет условие $\vec{a_1}=\vec{a_2} = \vec{a}$ Тогда
$ \begin{cases} m_2\vec{a} = \vec{F} + \vec{F_{21}}\\ m_1\vec{a} = \vec{F_12} + \vec{F_fr} \end{cases} $
Откуда $a_x = \frac{F-fm_2g}{m_2+m_1}$ сразу без проблем. Сила связи между троссом и блоком или упругая или неупругая, но точно не похожая на силу трения.
Опять, к моей задаче это никак не относится. Все ещё надеюсь, что кто-то просто распишет второй закон Ньютона и покажет вывод для $a_2$ и $a_1$ относительно стола.

[amon]

averagechungus в сообщении #1533327 писал(а):

Если нерастежимый, то будет условие $\vec{a_1}=\vec{a_2} = \vec{a}$ Тогда ...
Откуда $a_x = \frac{F-fm_2g}{m_2+m_1}$ сразу без проблем. Сила связи между троссом и блоком или упругая или неупругая, но точно не похожая на силу трения.
Опять, к моей задаче это никак не относится.

То есть, для троса, связывающего нижний брусок с верхним сила одна, а для трения - другая, хотя брусок движется также, и остальные силы не меняются? Вас ничего не смущает?

[sergey zhukov]

averagechungus в сообщении #1533327 писал(а):

Если нерастяжимый, то будет условие $\vec{a_1}=\vec{a_2} = \vec{a}$ Тогда

Ваши два бруска - это такая же нарастяжимая (абсолютно жесткая) система, пока сила тяги $F$ не превосходит силу трения между брусками. Почему же для системы "трос-брусок" вы не сомневаясь пишете $a_1=a_2$, а для системы из двух брусков у вас возникают сомнения? Это же одно и то же.

[averagechungus]

amon в сообщении #1533623 писал(а):

То есть, для троса, связывающего нижний брусок с верхним сила одна, а для трения - другая, хотя брусок движется также, и остальные силы не меняются? Вас ничего не смущает?

Да, силы трения и сила упругости разные силы.

Цитата:

хотя брусок движется также

В том и проблема, что он движется не так же по уравнениям. Вот и прошу найти мою ошибку и расписать, как будет правильно.

sergey zhukov писал(а):

Ваши два бруска - это такая же нарастяжимая (абсолютно жесткая) система, пока сила тяги $F$ не превосходит силу трения между брусками

На словах это конечно хорошо и правильно и очевидно, а как в уравнениях это получить строго?

Цитата:

почему же для системы "трос-брусок" вы не сомневаясь пишете $a_1=a_2$

Потому что это является условием задачи в случае нерастежимого тросса.

[amon]

averagechungus в сообщении #1533658 писал(а):

Да, силы трения и сила упругости разные силы. ... В том и проблема, что он движется не так же по уравнениям. Вот и прошу найти мою ошибку и расписать, как будет правильно.

В этом и ошибка. И то, и другое - силы реакции. Они не заданы заранее, а получаются в процессе решения задачи. Пока верхний брусок не скользит по нижнему, ускорения у брусков одинаковое, и эта задача с трением эквивалентна задаче о брусках, связанных тросом или пружиной. Сила реакции троса и сила трения в этом случае одинакова. Как только эта реакция превысила предельную силу трения, брусок заскользит (трос порвался). По Гамбургскому счету, что натяжение троса, что трение покоя - это упругие силы между атомами (те самые пружинки, натянутые между атомами), только пружинки-трение более "дохлые" и легче рвутся.