Найти интеграл для дробного момента распределения Коши

[zcorvid]

Интеграл:

$\int_{-\infty}^{\infty} \frac{x^k}{x^2 + 1} dx$ для $0<k<1$ задаёт дробный момент для распределения Коши, как его можно подсчитать? Берётся ли он в элементарных функциях?

Его можно свести к интегралу:

$\int_{-\pi / 2}^{\pi / 2} (\tg t)^k dt $

А что можно сделать дальше? Если вообще можно...

[ziv]

Данный интеграл сводится к рекуррентному соотношению путем интегрирования по частям.
Хотя, похоже, нет...

[Otta]

Не очень понятно, что делает дробная степень при отрицательных значениях аргумента.

[artempalkin]

zcorvid в сообщении #1533385 писал(а):

$\int_{-\infty}^{\infty} \frac{x^k}{x^2 + 1} dx$ для $0<k<1$ задаёт дробный момент для распределения Коши, как его можно подсчитать? Берётся ли он в элементарных функциях?

Справа от нуля можно сделать замену $t=x^2$, получить бета-функцию и по известным ее свойствам и свойствам гамма-функции даже получить ответ явно через элементарные функции.

А слева от нуля да, интеграл этот смысла для почти всех значений $k$ не имеет. Для удачных значений $k$ функция будет либо четной, либо нечетной, и опять же интеграл сводится к бета-функции, либо равен нулю.

[Евгений Машеров]

Если предположить, что в числителе стоит абсолютная величина x, во избежание комплексных, да ещё и неоднозначных величин, и поверить Вольфраму с его альфой, то ответ будет
$\pi\sec(\frac {\pi k} 2)$

[novichok2018]

Задача действительно имеет смысл только на полуоси. А там пример этот через вычеты решается кажется в Тихонов/Свешников, нет?

[Otta]

novichok2018 в сообщении #1533586 писал(а):

А там пример этот через вычеты решается кажется в Тихонов/Свешников, нет?

Можно. Но бета-функция уже готовая почти.

[Евгений Машеров]

Ну вот мне показалось, что распределение Коши появилось в связи со статистикой, и тогда могут представлять интерес абсолютные моменты, в том числе и дробного порядка.