2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки


Правила форума


Посмотреть правила форума



Начать новую тему Ответить на тему
 
 Найти интеграл для дробного момента распределения Коши
Сообщение01.10.2021, 05:07 
Аватара пользователя


28/05/15
71
Интеграл:

$\int_{-\infty}^{\infty} \frac{x^k}{x^2 + 1} dx$ для $0<k<1$ задаёт дробный момент для распределения Коши, как его можно подсчитать? Берётся ли он в элементарных функциях?

Его можно свести к интегралу:

$\int_{-\pi / 2}^{\pi / 2} (\tg t)^k dt $

А что можно сделать дальше? Если вообще можно...

 Профиль  
                  
 
 Re: Найти интеграл для дробного момента распределения Коши
Сообщение01.10.2021, 06:17 


11/07/19
17
Данный интеграл сводится к рекуррентному соотношению путем интегрирования по частям.
Хотя, похоже, нет...

 Профиль  
                  
 
 Re: Найти интеграл для дробного момента распределения Коши
Сообщение01.10.2021, 06:28 
Заслуженный участник


09/05/13
8904
Не очень понятно, что делает дробная степень при отрицательных значениях аргумента.

 Профиль  
                  
 
 Re: Найти интеграл для дробного момента распределения Коши
Сообщение01.10.2021, 08:50 


14/02/20
832
zcorvid в сообщении #1533385 писал(а):
$\int_{-\infty}^{\infty} \frac{x^k}{x^2 + 1} dx$ для $0<k<1$ задаёт дробный момент для распределения Коши, как его можно подсчитать? Берётся ли он в элементарных функциях?

Справа от нуля можно сделать замену $t=x^2$, получить бета-функцию и по известным ее свойствам и свойствам гамма-функции даже получить ответ явно через элементарные функции.

А слева от нуля да, интеграл этот смысла для почти всех значений $k$ не имеет. Для удачных значений $k$ функция будет либо четной, либо нечетной, и опять же интеграл сводится к бета-функции, либо равен нулю.

 Профиль  
                  
 
 Re: Найти интеграл для дробного момента распределения Коши
Сообщение01.10.2021, 12:58 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


11/03/08
9496
Москва
Если предположить, что в числителе стоит абсолютная величина x, во избежание комплексных, да ещё и неоднозначных величин, и поверить Вольфраму с его альфой, то ответ будет
$\pi\sec(\frac {\pi k} 2)$

 Профиль  
                  
 
 Re: Найти интеграл для дробного момента распределения Коши
Сообщение01.10.2021, 21:50 
Заблокирован


16/04/18

1129
Задача действительно имеет смысл только на полуоси. А там пример этот через вычеты решается кажется в Тихонов/Свешников, нет?

 Профиль  
                  
 
 Re: Найти интеграл для дробного момента распределения Коши
Сообщение01.10.2021, 21:57 
Заслуженный участник


09/05/13
8904
novichok2018 в сообщении #1533586 писал(а):
А там пример этот через вычеты решается кажется в Тихонов/Свешников, нет?

Можно. Но бета-функция уже готовая почти.

 Профиль  
                  
 
 Re: Найти интеграл для дробного момента распределения Коши
Сообщение02.10.2021, 07:28 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


11/03/08
9496
Москва
Ну вот мне показалось, что распределение Коши появилось в связи со статистикой, и тогда могут представлять интерес абсолютные моменты, в том числе и дробного порядка.

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 8 ] 

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: tolstopuz


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group