Кольцо в магнитном поле

[letoo]

На гладкой горизонтальной поверхности расположено тонкое проволочное кольцо радиуса $r$. Кольцо находится во внешнем однородном магнитном поле индукцией $B$, направленной перпендикулярно плоскости кольца. Индукция внешнего поля стала уменьшаться со временем $t$ по закону: $B(t)=B - At$, где $A$ - константа.
Сопротивлением проволоки кольца $R$. Самоиндукцией пренебречь.
Вопросы:
1) Найти ток в кольце
2) Чему равна максимальна сила натяжения проволоки кольца, обусловленная взаимодействием тока в кольце и внешнего магнитного поля?

Сила тока равна $I=\frac{\varepsilon}{R}$, магнитный поток равен $\varphi(t)=\pi\cdot r^2\cdot B(t)$
Производная магнитного потока равна $\dot{\varphi}=-\pi\cdot r^2\cdot A$
$\varepsilon=-\dot{\varphi}$ отсюда $I=\frac{\pi\cdot r^2\cdot A}{R}$

Силу натяжение не понимаю как найти. Думаю это сила Ампера, которая равна $\vec{F}=I\int\limits_{l}^{}d\vec{l}\cdot \vec{B}$, где $\vec{l}$ соединяет начало и конец проводника, но не понятно где начало, а где конец брать .

[Dan B-Yallay]

(Оффтоп)

letoo в сообщении #1533371 писал(а):

Думаю это сила Ампера, которая равна $\vec{F}=I\int\limits_{l}^{}d\vec{l}\cdot \vec{B}$

У Вас получается, вектор силы равен скалярной величине. Так бывает?

[DimaM]

А где здесь олимпиадность? Обычная учебная задача.

-- 01.10.2021, 12:18 --

letoo в сообщении #1533371 писал(а):

Думаю это сила Ампера, которая равна $\vec{F}=I\int\limits_{l}^{}d\vec{l}\cdot \vec{B}$, где $\vec{l}$ соединяет начало и конец проводника, но не понятно где начало, а где конец брать .

На все кольцо в однородном поле будет действовать нулевая сила, однако. Надо бы взять часть кольца.

[EUgeneUS]

letoo в сообщении #1533371 писал(а):

Думаю это сила Ампера

Да, сила Ампера.

letoo в сообщении #1533371 писал(а):

которая равна $\vec{F}=I\int\limits_{l}^{}d\vec{l}\cdot \vec{B}$, где $\vec{l}$

Сила Ампера, даже для протяженного проводника равна не этому.
Но, как заметил DimaM, не нужно интегрировать по всему проводнику (иначе ноль получим).

Наводящие вопросы:
1. Чему равна сила Ампера, действующая на маленький элемент кольца? И куда она направлена?
2. После ответа на вопросы выше электродинамика закончится и останется исключительно механика.

[letoo]

EUgeneUS в сообщении #1533390 писал(а):

1. Чему равна сила Ампера, действующая на маленький элемент кольца? И куда она направлена?

Равна $F=BIdl$ , $dl=r\alpha$ ($dl$ малый участок дуги окружности) направленна вертикально вверх

EUgeneUS в сообщении #1533390 писал(а):

2. После ответа на вопросы выше электродинамика закончится и останется исключительно механика.

Рассмотри маленький элемент кольца. На него действует сила Ампера и по бокам сила натяжения $F_1$. Из 2 закона Ньютона и малости углов следует что $2F_1 \cdot \frac{\alpha}{2}=BIr\alpha$, отсюда $F_1= BIr$

[EUgeneUS]

letoo в сообщении #1533470 писал(а):

Равна $F=BIdl$ , $dl=r\alpha$ ($dl$ малый участок дуги окружности) направленна вертикально вверх

По смыслу верно, но как же неаккуратно.
Должно быть так:
1. $dF=BIdl$ все таки если у Вас справа стоит (бесконечно) малая величина ($dl$), то и слева должна стоять (бесконечно) малая величина ($dF$)
2. $dl=r d\alpha$ - анлогично.
3. "вверх" - это куда? А вдруг кольцо горизонтально лежит.

letoo в сообщении #1533470 писал(а):

$F_1= BIr$

Для величины модуля силы натяжения верно. (Только до ответа нужно довести - подставить $I$)
Но все таки
а) Куда направлена сила Ампера?
б) А почему?

[letoo]

EUgeneUS в сообщении #1533486 писал(а):

а) Куда направлена сила Ампера?
б) А почему?

Сила ампера направлена по правилу левой руки: 4 пальца по току, вектор магнитной индукции направлен в ладонь, а большой палец покажет направление силы Ампера. Если кольцо лежит на горизонтальном столе, то сила Ампера направленна вверх, перпендикулярно кольцо в плоскости рисунка

[EUgeneUS]

Чего? Пожалуй, нужно привести этот рисунок.

[letoo]

EUgeneUS в сообщении #1533490 писал(а):

Чего? Пожалуй, нужно привести этот рисунок.

[EUgeneUS]

letoo
Хорошо.
А если выбрать другую точку на кольце, куда будет направлена сила Ампера? И как это сказать двумя словами?

И на вопрос "почему так?" ответ был далеко не полный.

[letoo]

EUgeneUS в сообщении #1533498 писал(а):

А если выбрать другую точку на кольце, куда будет направлена сила Ампера? И как это сказать двумя словами?

сила Ампера будет направленна перпендикулярно касательной к проводнику

EUgeneUS в сообщении #1533498 писал(а):

И на вопрос "почему так?" ответ был далеко не полный.

Если разбить кольцо на маленькие участки, которые можно представить как маленький прямолинейный проводник то по правилу левой руки определим направление силы Ампера

[EUgeneUS]

letoo в сообщении #1533502 писал(а):

сила Ампера будет направленна перпендикулярно касательной к проводнику

Это общее утверждение. А хотелось частное - для условий данной задачи (тонкое проводящее кольцо в плоскости в поле, перпендикулярном плоскости кольца)

В одной точке проводника есть куча направлений перпендикулярных касательной к проводнику.

Ладно, не будем тянуть кота за хвост. Я ожидал ответа "сила Ампера направлена по радиусу кольца".

Но попытайтесь дать ответ: в данной задаче сила Ампера направлена по радиусу кольца к центру или от центра? И почему?
Ваши слова про правило левой руки, верные, конечно, но это неполный ответ.

[letoo]

EUgeneUS в сообщении #1533509 писал(а):

сила Ампера направлена по радиусу кольца к центру или от центра? И почему?

От центра. Почему? затрудняюсь ответить , кроме как правила левой руки ничего в голову не приходит

[EUgeneUS]

Чтобы применить правило левой руки, как Вы делаете, нужно знать направление тока. Если ток будет течь в другую сторону, то по тому же правилу левой руки сила Ампера будет направлена к центру.
А ток почему так течет? (кстати, как он течет?)

[letoo]

EUgeneUS в сообщении #1533517 писал(а):

А ток почему так течет? (кстати, как он течет?)

Так как магнитная индукция со временем падает, то возникает вихревое электрическое поле , то по правилу буравчика направление вихревого поля будет по часовой стрелке, то ток будет по часовой стрелке