Немного о скалярном произведении и около

[Nartu]

Меня стал интересовать вопрос о размерности скал.произведения, имея ввиду единицы измерения векторов, ведь очевидно, что безкоординатная форма содержит произведение модулей, и если они метры, то получаются квадратные метры:

$(\vec{u},\vec{v})=uv\cos(\vec{u}\,\hat{,}\,\vec{v})$

$[(\vec{u},\vec{v})]=[\text{м}]\cdot[\text{м}]$

(косинус безразмерный выходит, так?)

И тут я чё-то не вспоиминаю, почему нигде не говорили об этом, мы привыкли просто использовать константу, и всё работало, и продолжает работать.

(Оффтоп)

У меня это соображение появилось из-за знакомства с геометрической алгеброй, как обоснование логики клиффордова произведения векторов: $\vec{u}\,\vec{v}=\vec{u}\cdot\vec{v}+\vec{u}\wedge\vec{v}$, типо это объекты одной физ.размерности. Конечно недолго я радовался и даже предполагал, что и их можно складывать и умножать..и вот тут точно будет сумма скаляра, вектора, бивектора,..

Хотелось найти связь с обычным рассчётом, куда\почему пропадает квадрат. Если согласовать и с координатной формой: координаты векторов так же должны измерятся в метрах, так модуль возвращает тоже $[\text{м}]$:

$[\sqrt{a^2+b^2}]=\sqrt{[\text{м}^2]+[\text{м}^2]}=[\text{м}]$

Есть идея связи с дуальностью.. Я просмотрел и законспектовал ознакомительній курс АлгТопа от Шестопалова, но так и не нашел о кограничном отображении. Если интуиция не врёт, это наоборот - взятие внутренности для данной границы, что должно повышать мерность.
То есть, я запутался с носителем меры вектора: он сам как объект, или координата?

[Pphantom]

Nartu в сообщении #1531441 писал(а):

Хотелось найти связь с обычным рассчётом, куда\почему пропадает квадрат.

А где он пропадает-то?

[Aritaborian]

Nartu в сообщении #1531441 писал(а):

куда\почему пропадает квадрат

Он не только не пропадает, он не обязан и появляться: при вычислении работы силы мы находим скалярное произведение векторов силы и перемещения. На входе имеем ньютоны и метры, на выходе джоули. Это по идее должно удивлять вас сильнее.

[Nartu]

Aritaborian в сообщении #1531475 писал(а):

Nartu в сообщении #1531441 писал(а):

куда\почему пропадает квадрат

Он не только не пропадает, он не обязан и появляться: при вычислении работы силы мы находим скалярное произведение векторов силы и перемещения. На входе имеем ньютоны и метры, на выходе джоули. Это по идее должно удивлять вас сильнее.

Нет. Не удивляет, всё хорошо, измерения разные, и в итоге получаем новое, корректного типа.

Pphantom в сообщении #1531470 писал(а):

А где он пропадает-то?

Но если векторы одинаковых единиц?

Лаадно, у меня есть идея: Разложение в базисе - тупо набор множителей, безразмерных. Носителями единиц будут сами базисные векторы. Соответственно, скал.произведение в координатной форме безразмерно. Если считать косинус по отношению координаты к модулю, получится $[\text{м}^{-1}]$ и скалярное произведение в безкоординатной форме будет в метрах:

$[\text{м}]\cdot[\text{м}]\cdot[\text{м}^{-1}]$

[tolstopuz]

Nartu в сообщении #1531685 писал(а):

Если считать косинус по отношению координаты к модулю, получится $[\text{м}^{-1}]$

А если перевести в $[\text{км}^{-1}]$, то сможет ли косинус достичь четырех?

[Mikhail_K]

Nartu в сообщении #1531441 писал(а):

то получаются квадратные метры

Конечно, квадратные метры. В чём вообще вопрос?

Nartu в сообщении #1531441 писал(а):

мы привыкли просто использовать константу, и всё работало, и продолжает работать.

Какую константу? О чём это Вы?

[Geen]

Nartu в сообщении #1531441 писал(а):

ведь очевидно, что безкоординатная форма содержит произведение модулей, и если они метры, то получаются квадратные метры

Нет. Мы либо умножаем векторы на ковекторы, либо там ещё метрический тензор есть...

[Pphantom]

Nartu в сообщении #1531685 писал(а):

Но если векторы одинаковых единиц?

И что?

Вы, похоже, где-то путаете скалярное произведение векторов с длиной вектора (ну или еще каким-то оригинальным образом "избавляетесь" от этого несчастного квадрата).

[Nartu]

Geen в сообщении #1531689 писал(а):

Nartu в сообщении #1531441 писал(а):

ведь очевидно, что безкоординатная форма содержит произведение модулей, и если они метры, то получаются квадратные метры

Нет. Мы либо умножаем векторы на ковекторы, либо там ещё метрический тензор есть...

Воот!

Mikhail_K в сообщении #1531688 писал(а):

Конечно, квадратные метры. В чём вообще вопрос?

В том, что скал.произведение используют для нахождения координаты. Но не всегда указывают единицы измерения. Видимо в таком случае работают с ковекторами, как и говорил Geen, а они безразмерные(наверное) и часто их пространства совпадают.

Не видел я разговоров об этом.

Pphantom в сообщении #1531690 писал(а):

И что?

Вы, похоже, где-то путаете скалярное произведение векторов с длиной вектора (ну или еще каким-то оригинальным образом "избавляетесь" от этого несчастного квадрата).

Никакой оригинальщины. Хотел поднять дискуссию по вышеописанной ситуации, брать скал.пр. от "реальных" векторов надо в специальных случаях, координату-проэкцию надо - значит смотреть на дуальном пространстве. Я, видимо, сам догадался.

Рассказываю: эта идея с квадратом возникла в связи с желанием вот так оестесственнить клиффордово произведение векторов, и придать больше смысла сумме скал. и внешнего произведений этих векторов. Сумма числа и вектора выглядит странной, особо для физика не в теме.
И вот так, если бивектор явно квадратных единиц, то рассчёт скал.произведения с единицами и квадратом даст одинаково измеримые слагаемые и их, вполне, можно складывать. Радость длилась не долго, ибо там можно и сами векторы прибавлять к ней, ну и клиффордово множить такие суммы - и всё нормально.
И да, если уж так, суммы эти можно рассматривать формально: можно всегда вычесть ненужное. Чувствую, типа категорная такая штука. Вот, к этому я пока пришел.

[zykov]

Nartu в сообщении #1532495 писал(а):

в таком случае работают с ковекторами, как и говорил Geen, а они безразмерные(наверное)

С какой стати безразмерный???
У него такая размерность, какая ему нужна по своей задаче.
Например есть у нас зависимость потенциала в вольтах от координат в метрах. Градиент этого потенциала будет ковектор (линейная форма) с размерностью "вольт на метр".
(Часто о градиенте говорят, как о векторе, но правильнее его называть ковектором. Просто в метрическом пространстве определен переход от ковектора к вектору и обратно.)

Nartu в сообщении #1532495 писал(а):

В том, что скал.произведение используют для нахождения координаты. Но не всегда указывают единицы измерения.

Вы просто забыли полную формулу для координат в ортогональном базисе.

$$x_i = \frac{(\vec r, \vec{e_i})}{(\vec{e_i}, \vec{e_i})}$$

Как видите, результат безразмерен если базисный вектор имеет размерность метров.
Если сам базисный вектор безразмерен, то результат имеет размерность метров.
Если базис ортонормированный, то $(\vec{e_i}, \vec{e_i})=1$ и формула урощается.

[Geen]

Nartu в сообщении #1532495 писал(а):

как и говорил Geen, а они безразмерные(наверное) и часто их пространства совпадают.

Вот такого я не говорил.

[Nartu]

zykov в сообщении #1532497 писал(а):

Nartu в сообщении #1532495 писал(а):

в таком случае работают с ковекторами, как и говорил Geen, а они безразмерные(наверное)

С какой стати безразмерный???
У него такая размерность, какая ему нужна по своей задаче.
Например есть у нас зависимость потенциала в вольтах от координат в метрах. Градиент этого потенциала будет ковектор (линейная форма) с размерностью "вольт на метр".
(Часто о градиенте говорят, как о векторе, но правильнее его называть ковектором. Просто в метрическом пространстве определен переход от ковектора к вектору и обратно.)

Nartu в сообщении #1532495 писал(а):

В том, что скал.произведение используют для нахождения координаты. Но не всегда указывают единицы измерения.

Вы просто забыли полную формулу для координат в ортогональном базисе.

$$x_i = \frac{(\vec r, \vec{e_i})}{(\vec{e_i}, \vec{e_i})}$$

Как видите, результат безразмерен если базисный вектор имеет размерность метров.
Если сам базисный вектор безразмерен, то результат имеет размерность метров.
Если базис ортонормированный, то $(\vec{e_i}, \vec{e_i})=1$ и формула урощается.

Большое спасибо, значит это учитывают. Хотелось бы это слышать на лекциях.

Geen в сообщении #1532524 писал(а):

Вот такого я не говорил.

Я зацепился за ковекторы, вы упомянули. Имел ввиду ковекторы, как векторы из 1-форм, а их - как те, что возвращают координату, безразмерную, ибо носитель размерности - элемент вект.пространства .

zykov в сообщении #1532497 писал(а):

У него такая размерность, какая ему нужна по своей задаче.

Выше написал, какие имел ввиду ковекторы. Соглашусь, можно считать 1-формы с необходимой мерностью, метрический тензор поможет перевести, если надо.

[maxmatem]

Кстати говоря , прекрасно излагает вопросы размерности скалярного произведения И.Х.Сабитов в статье Математическое просвещение 27 выпуск за 2021 год.