Задача о четырех черепахах

[Pphantom]

Будет, но тогда вы неправильно считаете относительную скорость. Кажется, собака зарыта в неявных попытках считать СО, связанную с черепахой, инерциальной - при этом вы фактически рассматриваете сопутствующую ИСО (и все комментаторы выше, включая меня, под такой вариант описания подстроились), вы же незаметно для себя перескакиваете с одного варианта на другой.

[iliaborisov]

Pphantom понятно. Буду разбираться с этим моментом. Задача оказалась сложнее,чем я думал. Подъискал сборник задач по физике для дочки - и вот первую попавшуюся интересную задачку захотел сам решить (так сказать пища для ума) - а ответ не сошелся. Там где приведено решение - оно - да, не через относительную скорость решалось.

[Pphantom]

На самом деле задача простая, вы просто откровенно перемудрили.

[sergey zhukov]

iliaborisov
Из соображений симметрии черепахи в процессе сближения всегда будут находиться в вершинах квадрата. А т.к. вектора их скорости все время смотрят на соседа, то начальные условия задачи постоянно воспроизводятся снова и снова с той только разницей, что стороны квадрата линейно уменьшаются со временем. И вопрос в том, когда они уменьшаться до нуля. Очевидно, через время $\frac{a}{v}$.
Скорость сближения двух черепах в данном случае равна скорости одной черепахи, т.к. вторая всегда ползет под прямым углом к соединяющему их отрезку. Скорость второй черепахи в этом случае не имеет значения.

[EUgeneUS]

iliaborisov
Попробую еще так объяснить.
Вы путаете две разные скорости:
а) относительную скорость - скорость одной черепахи относительно другой
б) скорость, с которой уменьшается расстояние между черепахами.

Относительная скорость.
Пусть $\vec{r_1}$ и $\vec{r_2}$ - радиус-векторы первой и второй черепах.
Тогда $\vec{r_{21}} = \vec{r_2} - \vec{r_1}$ - вектор из второй черепахи в первую.
И $\vec{v_{21}} = \frac{d}{dt} \vec{r_{21}}= \frac{d}{dt}(\vec{r_2} - \vec{r_1}) = \vec{v_2} - \vec{v_1}$ - скорость второй черепахи относительно первой. Это векторная величина.

Скорость с которой уменьшается расстояние.
$|\vec{r_{21}}| = |\vec{r_2} - \vec{r_1}|$ - расстояние между первой и второй черепахой.
И $\tilde{v} = \frac{d}{dt}|\vec{r_{21}}| = \frac{d}{dt} |\vec{r_2} - \vec{r_1}|$ - скорость, с которой уменьшается расстояние между черепахами.
Обратите внимание, что $\tilde{v}$ - это не векторная величина, а скалярная! Более того $|v_{21}| \ne \tilde{v}$, то есть она не равна (тождественно) модулю относительной скорости, это вполне ясно видно из приведенных выше формул.

В случае четырех черепах из-за перпендикулярности скоростей всё получается весьма просто - скорость уменьшения расстояния равна модулю скорости черепахи. Именно скорости в лабораторной СО, а не модулю относительной скорости.
Попробуйте решить ту же задачу с тремя и-или пятью черепахами, там будет чуть сложнее.

-- 25.09.2021, 16:15 --

iliaborisov
UPD, можно и нужно задаться вопросом: как связана относительная скорость и скорость сближения?

В формуле:

EUgeneUS в сообщении #1532683 писал(а):

$\tilde{v} = \frac{d}{dt}|\vec{r_{21}}| = \frac{d}{dt} |\vec{r_2} - \vec{r_1}|$

$|r_{21}|$ можно расписать в координатной форме, взять производную по времени, а потом координатную форму опять свернуть в векторную. Получим следующее
$\tilde{v} = \frac{(\vec{r_{21}}, \vec{v_{21}})}{|\vec{r_{21}}|}$
можно записать так $\vec{r_{21}} = |\vec{r_{21}}|\vec{e_{21}}$, где $\vec{e_{21}}$ - единичный вектор, направленный от точки (черепахи) 2 в точку (черепаху) 1.
тогда $\tilde{v} = (\vec{e_{21}}, \vec{v_{21}})$, а это ни что иное, как проекция относительной скорости на ось, направленную от точки (черепахи) 2 в точку (черепаху) 1.

Вот и получили, что скорость сближения (скорость с которой меняется расстояние между двумя точками) есть проекция относительной скорости на ось, проходящую через эти точки, а не модуль относительной скорости. В общем-то результат совершенно ожидаемый и интуитивно понятный.

[realeugene]

iliaborisov в сообщении #1532676 писал(а):

Подъискал сборник задач по физике для дочки - и вот первую попавшуюся интересную задачку захотел сам решить (так сказать пища для ума) - а ответ не сошелся.

Вам нужно вспоминать что такое вектора, как они складываются, и как они преобразуются при переходах между системами отсчёта.

[iliaborisov]

EUgeneUS в сообщении #1532683 писал(а):

iliaborisov

Вот и получили, что скорость сближения (скорость с которой меняется расстояние между двумя точками) есть проекция относительной скорости на ось, проходящую через эти точки, а не модуль относительной скорости. В общем-то результат совершенно ожидаемый и интуитивно понятный.

Я просто имел ввиду,что по моему предположению в данном случае проекция должна совпадать с вектором. В принципе Сергей Жуков правильно все объяснил - т.к. ветора скорости соседних черепах в каждый момент времени перпендикулярны, то соседняя черепаха догоняет ту, к которой устремлена со скоростью равной своей скорости. Если бы скорости были бы не перпендикулярны, то скорость сближения была бы или выше или ниже. Скорее всего я неправильно нашел относительную скорость, а не перепутал проекцию с вектором.
в любом случае всем спасибо, особенно Сергею Жукову!

[EUgeneUS]

iliaborisov в сообщении #1532884 писал(а):

по моему предположению в данном случае проекция должна совпадать с вектором.

Проекция не может совпадать с вектором. Потому что проекция - это число, а вектор - это вектор. Могут совпадать проекция и модуль вектора, но только в одном случае - если проекция берется на ось сонаправленную с вектором.

iliaborisov в сообщении #1532884 писал(а):

В принципе Сергей Жуков правильно все объяснил

Как правило существуют более одного правильного объяснения одного и того же.

iliaborisov в сообщении #1532884 писал(а):

Если бы скорости были бы не перпендикулярны, то скорость сближения была бы или выше или ниже.

Вот и попробуйте решить ту же самую задачу для трех или пяти черепах. Это сильно поможет в понимании.