Изломы аналитических кривых

[zcorvid]

Гладкая кривая может иметь излом под любым углом. Аналитическая кривая может иметь особенности только типа "точка возврата".

Нужно это утверждение (про точку возврата) доказать. При этом просто наличия и непрерывности производных, очевидно, недостаточно (легко придумать контрпример, например можно гладко задать график модуля $y = |x|$).

Я нашёл, вроде как, доказательство в одной книге (https://scask.ru/g_book_f_math1.php?id=236, пункт 237), но не могу понять, в какой момент использована аналитичность, доказательство выглядит, будто оно работает и для случая гладкости.

Сам я пока немного надоказывал. Пусть кривая $x = p(t), y = q(t)$ ($p, q$ - аналитические функции) имеет "нехорошую" точку излома. Без потери общности можно считать, что координаты особой точки $(0, 0)$. Во-первых, очевидно, что обе производные равны нулю (иначе это разрыв вектора скорости). Рассмотрим $\varphi(t) = \fqrac{q(t)}{p(t)}$ - угол наклона кривой, эта функция разрывна в нуле, причём характер точки разрыва - скачок. Что можно сделать дальше? Пока мне решение видится таким образом - частное аналитических функций есть мероморфная функция, она может иметь особенности либо типа полюс, либо "существенно особая точка" (я забыл правильный термин, буду благодарен, если кто-то напомнит), в полюсе предел бесконечность (значит это не наш случай, у нас скачок), в случае же существенной особенности любая точка является предельной согласно одной из теорем из ТФКП (забыл название теоремы, тоже было бы неплохо, если кто-то напомнит), в случае же скачка у нас два предельных значения. Полученное противоречие доказывает невозможность такого излома для аналитической кривой.

Правильно ли моё решение? Мне кажется, что да (скорее всего его можно существенно упростить).

PS. К сожалению я немного подзабыл курс ТФКП, и мог выше написать явную фигню.

[zcorvid]

Кажется задачу удалось решить.

$\tg \varphi (t) = \frac{q(t)}{p(t)}$ - тангенс угла наклона, это отношение двух голоморфных (в окрестности нуля) функций. Нетрудно доказать, что отношение голоморфных функций является мероморфной функцией (может иметь только полюса). Это означает, что предел в нуле равен бесконечности, это означает, что кривая в нуле может подходить только сверху или снизу, тогда для неё остаётся лишь 4 варианта - "птичка" сверху, "птичка" снизу, и два варианта с точкой перегиба. Первые два - каспы, последние два - вообще отсутствие особенности (геометрической).

Дополнение про мероморфность. Для доказательства этого утверждения нужно представить $p(t)$ и $q(t)$ в виде $p(t) = t^n \cdot p_1(t)$, $q(t) = t^m \cdot q_1(t)$, где функции $p_1(t)$ и $q_1(t)$ не обращаются в нуль в нуле. Тогда $\frac{q(t)}{p(t)} = t^k \cdot \frac{q_1(t)}{p_1(t)}$ - произведение некоторой степени $t$ на голоморфную в нуле функцию (частное двух голоморфных функций голоморфно, если знаменатель не обращается в нуль в данной точке). Если $k = m - n$ больше нуля, то частное вообще голоморфная функция, если меньше нуля - то имеем полюс. Что и требовалось.

Поправьте, пожалуйста, если я где-то ошибаюсь.

[Slav-27]

Почти получилось, я бы сказал, что $x(t)/y(t)$ непрерывно в $0$ (одинаковые пределы слева и справа; если они бесконечные и вас это смущает, обменяйте $x$ и $y$, будут нулевые), что влечёт непрерывность угла наклона касательной по модулю $\pi$. Ещё надо аккуратно сказать, почему предел $x(t)/y(t)$ в $0$ -- это тангенс угла наклона.

zcorvid в сообщении #1532310 писал(а):

Это означает, что предел в нуле равен бесконечности, это означает, что кривая в нуле может подходить только сверху или снизу

Это, конечно, неверно, потому что можно повернуть её относительно начала координат на любой угол (аналитичность не нарушится).

[zcorvid]

Чтобы кривая подходила не сверху и не снизу, надо, чтобы отношение было бы неособым в нуле, это случай, когда $t$ входит в нулевой степени в частное, если же степень положительна, это будет означать, что частное в нуле стремится к нулю, и кривая будет подходить справа или слева.

В любом случае, как вы сказали, отношение будет непрерывно в нуле (в расширенном смысле, если допускается бесконечность), это это и означает, что оба угла равна с точностью до $\pi$, значит поворот может быть только каспом.

[Slav-27]

Да, хорошо.