Интеграл

[arqady]

Вот такой:

$$\int\frac{x}{\sqrt{x^4+10x^2-96x-71}}dx.$$

Можно ли его взять в элементарных функциях? Спасибо!

[ИСН]

Помилуйте, сударь, Вам ли неведомо, что интегралы с квадратными корнями из полиномов третьей или четвёртой степени, если нет кратных корней (а их таки нет) сводятся к эллиптическим?

[arqady]

И что из этого? Правильно ли я Вас понял, что Ваш ответ - нет?

[ShMaxG]

http://ru.wikipedia.org/wiki/%D0%AD%D0%BB%D0%BB%D0%B8%D0%BF%D1%82%D0%B8%D1%87%D0%B5%D1%81%D0%BA%D0%B8%D0%B9_%D0%B8%D0%BD%D1%82%D0%B5%D0%B3%D1%80%D0%B0%D0%BB

[arqady]

ShMaxG, Ваш ответ - нет? Ответьте, это же так просто: да или нет?

[ИСН]

Именно так-с: нетъ. Ради пущей уверенности я испытал железяку, каковая ответствовала ровно так же: в эллиптических - извольте, в элементарных - увы.

[ShMaxG]

Я думаю, ответ "нет".

[arqady]

В принципе, всё понятно! Поскольку

$$x^4+10x^2-96x-71=(x^2+11)^2-12(x+4)^2,$$

представляем

$$x^4+10x^2-96x-71$$

как

$$(x^2+ax+b)(x^2+cx+d),$$

где, очевидно,

$$a\neq c.$$

Дальше избавляемся от

$$ax$$

и

$$cx$$

с помощью стандартной подстановки и получаем ( или не получаем ) эллиптический интеграл.
Садистская задача.
Всем огромное спасибо!

[Алексей К.]

По крайней мере. кубическая резольвента уравнения $x^4+10x^2-96x-71=0$ имеет вид $(z-12)(z^2+32z+768)=0$. У меня в последнее время уравнения 4-й степени ежедневно возникают, и я это уже щучу автоматически. Не помню, правда, помогает ли знание корней при интергировании таких штук.
Наверное, нет...

[VladTK]

А исследовались ли когда-нибудь интегралы вида

$$ \int \frac {\exp{(-x)}} {\sqrt{a_4*x^4+a_3*x^3+a_2*x^2+a_1*x+a_0}} dx $$

Мне вот такой попался, я с ним уже полгода мучаюсь...