2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки




 
 Интеграл
Сообщение24.10.2008, 22:11 
Вот такой:
$$\int\frac{x}{\sqrt{x^4+10x^2-96x-71}}dx.$$
Можно ли его взять в элементарных функциях? Спасибо!

 
 
 
 
Сообщение24.10.2008, 22:16 
Аватара пользователя
Помилуйте, сударь, Вам ли неведомо, что интегралы с квадратными корнями из полиномов третьей или четвёртой степени, если нет кратных корней (а их таки нет) сводятся к эллиптическим?

 
 
 
 
Сообщение24.10.2008, 23:10 
И что из этого? Правильно ли я Вас понял, что Ваш ответ - нет?

 
 
 
 
Сообщение24.10.2008, 23:39 
Аватара пользователя
http://ru.wikipedia.org/wiki/%D0%AD%D0%BB%D0%BB%D0%B8%D0%BF%D1%82%D0%B8%D1%87%D0%B5%D1%81%D0%BA%D0%B8%D0%B9_%D0%B8%D0%BD%D1%82%D0%B5%D0%B3%D1%80%D0%B0%D0%BB

 
 
 
 
Сообщение25.10.2008, 00:02 
ShMaxG, Ваш ответ - нет? Ответьте, это же так просто: да или нет? :lol:

 
 
 
 
Сообщение25.10.2008, 00:11 
Аватара пользователя
Именно так-с: нетъ. Ради пущей уверенности я испытал железяку, каковая ответствовала ровно так же: в эллиптических - извольте, в элементарных - увы.

 
 
 
 
Сообщение25.10.2008, 00:15 
Аватара пользователя
Я думаю, ответ "нет".

 
 
 
 
Сообщение25.10.2008, 00:26 
В принципе, всё понятно! Поскольку $$x^4+10x^2-96x-71=(x^2+11)^2-12(x+4)^2,$$ представляем $$x^4+10x^2-96x-71$$ как $$(x^2+ax+b)(x^2+cx+d),$$ где, очевидно, $$a\neq c.$$ Дальше избавляемся от $$ax$$ и $$cx$$ с помощью стандартной подстановки и получаем ( или не получаем ) эллиптический интеграл.
Садистская задача. :mrgreen:
Всем огромное спасибо!

 
 
 
 
Сообщение25.10.2008, 01:18 
По крайней мере. кубическая резольвента уравнения $x^4+10x^2-96x-71=0$ имеет вид $(z-12)(z^2+32z+768)=0$. У меня в последнее время уравнения 4-й степени ежедневно возникают, и я это уже щучу автоматически. Не помню, правда, помогает ли знание корней при интергировании таких штук.
Наверное, нет... :D

 
 
 
 
Сообщение25.10.2008, 08:51 
А исследовались ли когда-нибудь интегралы вида

$$ \int \frac {\exp{(-x)}} {\sqrt{a_4*x^4+a_3*x^3+a_2*x^2+a_1*x+a_0}} dx $$

Мне вот такой попался, я с ним уже полгода мучаюсь...

 
 
 [ Сообщений: 10 ] 


Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group