Подпосл.-ть через сумму с треугольником

[kthxbye]

Имеем последовательность, обобщающую A329369:

$$a(2n+1, p, q) = a(n, p,q), a(2n, p , q) = pa(n, p,q) + qa(n - 2^{f(n)}, p,q) + a(2n - 2^{f(n)}, p,q), a(0, p, q) = 1$$

где $f(n)$ это A007814. Тогда

$$a((4^n-1)/3, 2, q) = a((4^n-1)/3, q, 2) = \sum\limits_{k=0}^{n}(q-1)^{k}T(n,k)$$

где $T(n,k)$ это A087736 для $n\geqslant0$, $q\in\mathbb{R}$.

Как это можно доказать? Возможны ли аналогичные суммы с треугольником для других $p$? Если да, то что это за треугольники? Задаются ли они аналогично при помощи оператора $\operatorname {DELTA}$?

[kthxbye]

Небольшая описка: степень у $(q-1)^k$ не $k$, а $n-k$.