2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки


Правила форума


Посмотреть правила форума



Начать новую тему Ответить на тему
 
 Доказать закон де Моргана
Сообщение06.09.2021, 22:00 


14/02/20
832
Задача доказать закон де Моргана в следующей форме:

$\overline{\cup\limits_{k=1}^{\infty} A_k}=\cap\limits_{k=1}^{\infty}\overline{A_k}$

Нужно доказать двустороннее вложение. Подскажите, нормально будет так доказать вложение в одну из сторон. Вроде проблем нет, но смущает, конечно, это бесконечное объединение и пересечение, не будет ли нести каких-то проблем.

$\omega\in\overline{\cup\limits_{k=1}^{\infty} A_k}\Rightarrow\omega\notin\cup\limits_{k=1}^{\infty} A_k\Rightarrow\omega\notin A_k(\forall k)\Rightarrow\omega\in\overline{A_k}(\forall k)\Rightarrow\omega\in\cap\limits_{k=1}^{\infty}\overline{A_k}$

 Профиль  
                  
 
 Re: Доказать закон де Моргана
Сообщение06.09.2021, 22:11 
Заслуженный участник


09/05/13
8904
artempalkin
C кванторами работайте аккуратнее.
И проверьте, ломается ли что в этой цепочке (после исправления кванторов), при рассуждении в обратную сторону.

 Профиль  
                  
 
 Re: Доказать закон де Моргана
Сообщение06.09.2021, 22:21 


14/02/20
832
Тааак, а что с кванторами? Не вижу... ну разве что

$\omega\in\overline{\cup\limits_{k=1}^{\infty} A_k}\Rightarrow\omega\notin\cup\limits_{k=1}^{\infty} A_k\Rightarrow\omega\notin A_k(\forall k\in\mathbb{N})\Rightarrow\omega\in\overline{A_k}(\forall k\in\mathbb{N})\Rightarrow\omega\in\cap\limits_{k=1}^{\infty}\overline{A_k}$

А вообще да, можно в каждом случае поставить знак равносильности и будет работать в обе стороны сразу. Или в чем-то другом ошибка?

 Профиль  
                  
 
 Re: Доказать закон де Моргана
Сообщение06.09.2021, 22:41 
Заслуженный участник


09/05/13
8904
artempalkin
отрицания не принято так строить. Что такое для всех $k$ не принадлежит? Ни одному не принадлежит? Отсюда идут все косяки, которые идут потом.

 Профиль  
                  
 
 Re: Доказать закон де Моргана
Сообщение06.09.2021, 22:46 


14/02/20
832
Otta в сообщении #1530834 писал(а):
отрицания не принято так строить. Что такое для всех $k$ не принадлежит?

Ну я не математик-профессионал, конечно, но что в этом такого? :)
Можно написать
$\omega\notin A_1$
$\omega\notin A_2$
$\omega\notin A_3$
...
$\omega\notin A_n$
...

А можно написать сокращенно: $\omega\notin A_k$ для $\forall k\in\mathbb{N}$, разве в этом есть что-то существенно неправильное?

 Профиль  
                  
 
 Re: Доказать закон де Моргана
Сообщение06.09.2021, 22:52 
Заслуженный участник


09/05/13
8904
artempalkin в сообщении #1530835 писал(а):
разве в этом есть что-то существенно неправильное?

Да, конечно.
Посмотрите на два множества. Если элемент не принадлежит их объединению, это означает, что он не принадлежит ни первому, ни второму? в точности это?

 Профиль  
                  
 
 Re: Доказать закон де Моргана
Сообщение06.09.2021, 22:58 


14/02/20
832
Otta в сообщении #1530836 писал(а):
Посмотрите на два множества. Если элемент не принадлежит их объединению, это означает, что он не принадлежит ни первому, ни второму? в точности это?

Ну вроде да... Если не принадлежит объединению, то не принадлежит ни одному из них. Если бы принадлежал объединению, то принадлежал бы хотя бы одному. И наоборот тоже верно. Значит, в точности это.

 Профиль  
                  
 
 Re: Доказать закон де Моргана
Сообщение06.09.2021, 23:03 
Заслуженный участник


09/05/13
8904
Ох, да. Сорри, я глючу. Нельзя тремя делами одновременно заниматься. Все хорошо у Вас.

 Профиль  
                  
 
 Re: Доказать закон де Моргана
Сообщение06.09.2021, 23:13 


14/02/20
832
Otta
Я уж тоже начал сомневаться в своей вменяемости :)

То есть бесконечные объединения/пересечения особых изменений не вносят в логику?

 Профиль  
                  
 
 Re: Доказать закон де Моргана
Сообщение06.09.2021, 23:17 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


11/12/05
9953
artempalkin в сообщении #1530835 писал(а):
А можно написать сокращенно: $\omega\notin A_k$ для $\forall k\in\mathbb{N}$, разве в этом есть что-то существенно неправильное?
Ничего существенного нет, но всё-же лучше сначала указать, что такое $k$, а потом уже утверждать что-либо касательно него:
$$\forall k \in \mathbb N: a \notin A_k $$
Во всяком случае так обычно делалось в тех учебниках матлогики, по которым я учился.

 Профиль  
                  
 
 Re: Доказать закон де Моргана
Сообщение06.09.2021, 23:27 
Заслуженный участник


09/05/13
8904
artempalkin в сообщении #1530839 писал(а):
То есть бесконечные объединения/пересечения особых изменений не вносят в логику?

Тут надо посмотреть, как определяется объединение/пересечение, скажем, трехсот множеств. И как - бесконечное. И есть ли принципиальная разница для нашего рассуждения. Посмотрите.

 Профиль  
                  
 
 Re: Доказать закон де Моргана
Сообщение09.09.2021, 13:16 
Заслуженный участник


11/05/08
32166
artempalkin в сообщении #1530835 писал(а):
А можно написать сокращенно: $\omega\notin A_k$ для $\forall k\in\mathbb{N}$, разве в этом есть что-то существенно неправильное?

Есть. Как уже сказано, квантор следует ставить в начале. Хотя бы потому, что это позволяет автоматизировать построение отрицаний. Скажем, отрицанием к утверждению $(\forall k)\ \omega\notin A_k$ чисто формально будет $\exists k\colon\ \omega\in A_k$. Безо всяких раздумий, на автомате -- просто формальное правило такое. (Скобки и двоеточия здесь только для красоты удобства чтения, содержательной нагрузки они не несут.)

А вот теперь попытайтесь так же формально построить отрицание к записи $\omega\notin A_k\ (\forall k)$ -- ничего не выйдет.

Другое дело, что так тоже часто пишут, но это уже специфика русского языка -- такую запись удобнее произносить вслух (в правильном варианте требуется дополнительная связка типа "выполняется" или "справедливо", а так нет). Но при манипулировании цепочками формул аккуратность всё же следует соблюдать.

(и да, и бесконечность тут не при чём, и стрелочки все двусторонние)

 Профиль  
                  
 
 Re: Доказать закон де Моргана
Сообщение09.09.2021, 19:30 


14/02/20
832
ewert в сообщении #1531055 писал(а):
Есть. Как уже сказано, квантор следует ставить в начале.

Ага. Ну меня больше интересовала сущностная сторона вопроса (принципиальная верность рассуждений), а не формальная, но за комментарий спасибо, особенно про двоеточия и всякие вертикальные линии я до сих пор не совсем понимаю, зачем и где их нужно ставить.

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 13 ] 

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group