Доказать закон де Моргана

[artempalkin]

Задача доказать закон де Моргана в следующей форме:

$\overline{\cup\limits_{k=1}^{\infty} A_k}=\cap\limits_{k=1}^{\infty}\overline{A_k}$

Нужно доказать двустороннее вложение. Подскажите, нормально будет так доказать вложение в одну из сторон. Вроде проблем нет, но смущает, конечно, это бесконечное объединение и пересечение, не будет ли нести каких-то проблем.

$\omega\in\overline{\cup\limits_{k=1}^{\infty} A_k}\Rightarrow\omega\notin\cup\limits_{k=1}^{\infty} A_k\Rightarrow\omega\notin A_k(\forall k)\Rightarrow\omega\in\overline{A_k}(\forall k)\Rightarrow\omega\in\cap\limits_{k=1}^{\infty}\overline{A_k}$

[Otta]

artempalkin
C кванторами работайте аккуратнее.
И проверьте, ломается ли что в этой цепочке (после исправления кванторов), при рассуждении в обратную сторону.

[artempalkin]

Тааак, а что с кванторами? Не вижу... ну разве что

$\omega\in\overline{\cup\limits_{k=1}^{\infty} A_k}\Rightarrow\omega\notin\cup\limits_{k=1}^{\infty} A_k\Rightarrow\omega\notin A_k(\forall k\in\mathbb{N})\Rightarrow\omega\in\overline{A_k}(\forall k\in\mathbb{N})\Rightarrow\omega\in\cap\limits_{k=1}^{\infty}\overline{A_k}$

А вообще да, можно в каждом случае поставить знак равносильности и будет работать в обе стороны сразу. Или в чем-то другом ошибка?

[Otta]

artempalkin
отрицания не принято так строить. Что такое для всех $k$ не принадлежит? Ни одному не принадлежит? Отсюда идут все косяки, которые идут потом.

[artempalkin]

Otta в сообщении #1530834 писал(а):

отрицания не принято так строить. Что такое для всех $k$ не принадлежит?

Ну я не математик-профессионал, конечно, но что в этом такого? :)
Можно написать
$\omega\notin A_1$
$\omega\notin A_2$
$\omega\notin A_3$
...
$\omega\notin A_n$
...

А можно написать сокращенно: $\omega\notin A_k$ для $\forall k\in\mathbb{N}$, разве в этом есть что-то существенно неправильное?

[Otta]

artempalkin в сообщении #1530835 писал(а):

разве в этом есть что-то существенно неправильное?

Да, конечно.
Посмотрите на два множества. Если элемент не принадлежит их объединению, это означает, что он не принадлежит ни первому, ни второму? в точности это?

[artempalkin]

Otta в сообщении #1530836 писал(а):

Посмотрите на два множества. Если элемент не принадлежит их объединению, это означает, что он не принадлежит ни первому, ни второму? в точности это?

Ну вроде да... Если не принадлежит объединению, то не принадлежит ни одному из них. Если бы принадлежал объединению, то принадлежал бы хотя бы одному. И наоборот тоже верно. Значит, в точности это.

[Otta]

Ох, да. Сорри, я глючу. Нельзя тремя делами одновременно заниматься. Все хорошо у Вас.

[artempalkin]

Otta
Я уж тоже начал сомневаться в своей вменяемости :)

То есть бесконечные объединения/пересечения особых изменений не вносят в логику?

[Dan B-Yallay]

artempalkin в сообщении #1530835 писал(а):

А можно написать сокращенно: $\omega\notin A_k$ для $\forall k\in\mathbb{N}$, разве в этом есть что-то существенно неправильное?

Ничего существенного нет, но всё-же лучше сначала указать, что такое $k$, а потом уже утверждать что-либо касательно него:

$$\forall k \in \mathbb N: a \notin A_k $$

Во всяком случае так обычно делалось в тех учебниках матлогики, по которым я учился.

[Otta]

artempalkin в сообщении #1530839 писал(а):

То есть бесконечные объединения/пересечения особых изменений не вносят в логику?

Тут надо посмотреть, как определяется объединение/пересечение, скажем, трехсот множеств. И как - бесконечное. И есть ли принципиальная разница для нашего рассуждения. Посмотрите.

[ewert]

artempalkin в сообщении #1530835 писал(а):

А можно написать сокращенно: $\omega\notin A_k$ для $\forall k\in\mathbb{N}$, разве в этом есть что-то существенно неправильное?

Есть. Как уже сказано, квантор следует ставить в начале. Хотя бы потому, что это позволяет автоматизировать построение отрицаний. Скажем, отрицанием к утверждению $(\forall k)\ \omega\notin A_k$ чисто формально будет $\exists k\colon\ \omega\in A_k$. Безо всяких раздумий, на автомате -- просто формальное правило такое. (Скобки и двоеточия здесь только для красоты удобства чтения, содержательной нагрузки они не несут.)

А вот теперь попытайтесь так же формально построить отрицание к записи $\omega\notin A_k\ (\forall k)$ -- ничего не выйдет.

Другое дело, что так тоже часто пишут, но это уже специфика русского языка -- такую запись удобнее произносить вслух (в правильном варианте требуется дополнительная связка типа "выполняется" или "справедливо", а так нет). Но при манипулировании цепочками формул аккуратность всё же следует соблюдать.

(и да, и бесконечность тут не при чём, и стрелочки все двусторонние)

[artempalkin]

ewert в сообщении #1531055 писал(а):

Есть. Как уже сказано, квантор следует ставить в начале.

Ага. Ну меня больше интересовала сущностная сторона вопроса (принципиальная верность рассуждений), а не формальная, но за комментарий спасибо, особенно про двоеточия и всякие вертикальные линии я до сих пор не совсем понимаю, зачем и где их нужно ставить.