Мне сложно представить,что это что-то содержательное,что может занять целую тему,но если это нужно на для понимания,то думаю не стоит откладывать.
Понимаете, вот просто по определению дифференциала. Смотрите например
Фихтенгольц, Курс дифференциального и интегрального исчисления. (трехтомник, первый том).
Пункт 103 определение дифференциала.
Там написано, что если существует
такая что
то функция
называется дифференцируемой, а
называется её дифференциалом и обозначается
.
По определению! То есть тут не "а почему линейная часть приращения в пределе равна приращению, в чем причина этого и как убедиться что это так", а по определению именно так. А если это не так, то дифференциал для такой функции не существует и функция не дифференцируема. А если дифференциал существует, то только такой, который в пределе стремления приращения аргумента функции к нулю равен линейной части приращения функции.
Дальше, чтобы применять это, нужно убеждаться в том что функция дифференцируема. Например, из существования производной с необходимостью и достаточностью следует дифференцируемость. Ну и также следует что дифференциал равен производной умножить на приращение аргумента, т.е.
Если да (функция дифференцируема), то всё хорошо и линейная часть её приращения
будет равна
(
будет стремиться) к полному приращению при стремлении приращения аргумента к нулю (по определению!). Если нет, то не повезло, и надо вооружаться по-другому.
Это (выше) так сказать "прямой путь". Усвойте его сперва.
Вы же ещё спрашиваете про "обратный путь" -- нам, из физических соображений, известны приращения функции в зависимости от значений самой функции и приращений её аргумента. Можем ли мы восстановить функцию как-то, если знаем какие-то начальные условия? См. "Задача Коши". Да, можем. Но для обратного пути надо сперва пройти прямой... В частности, понимать как из того что нам известна произвдная, можно восстановить вид самой функции (первообразной) и т.д. Т.е. это матан первых двух-трёх семестров технического вуза. Потом уже начинаются дифференциальные уравнения...