Понимание дифференциала и приближённых равенств в физике

[realeugene]

epros в сообщении #1530703 писал(а):

Хотя, конечно, при наличии фантазии можно в $\sin 2 x$ интерпретировать $x$ и как числовую матрицу.

Можно и матрицу, да. Но обычно эта строка - это просто обозначение функции $\mathcal R \to \mathcal R$

Точнее, даже, $\mathcal R \to \left [ 1, 1 \right ]$. Но нередко и $\mathcal C \to \mathcal C$.

[Cheloveck]

sergey zhukov
Вы не отвечаете на мои вопросы и не говорите о моих рассуждениях,а только приводите новые и новые примеры.Без подтверждения я даже не знаю прав бы ли я был насчёт того,что приближённые равенства это просто шаг наперёд.А по поводу дифференциала так вообще не ясно,я даже не знаю как другие понимают его,вроде и говорят о приближённостях,а вроде и написали что приращение функции при стремлении к нулю равно дифференциалу.Если уж на то пошло,то как это показать математически,а не на физических примерах,в этом примере вы хотели сказать,что приращение функции при малом приращении аргумента в принципе можно считать линейно зависимым ? Но я не знаю хотели ли вы это сказать или нет,т.к у меня нет подтверждений.Если в задаче есть использование дифференциала с таким смыслом,то скорей всего есть математическое обоснование тому как решаются задачи с использованиям этих понятий.

[Otta]

Cheloveck
А Вы на мой не ответили. Хотя это был кратчайший путь.
Я решила, что наверное, Вам не очень нужен ответ, потому не настаиваю.

[Cheloveck]

Цитата:

А вот это уже не получится. Не тот раздел форума.

Нет правил которые запрещают указать на свойство или написать его объяснив какая его роль в теоретическом вопросе,это помощь,мой вопрос скорее теоретический,судя по разделу это именно то куда нужно было писать,а если нет,то куда ? Если так ограничивать помощь,то тема может длиться месяц.

-- 06.09.2021, 01:45 --

wrest
Посмотрел вновь и до этого смотрел,не могу найти что-то чтобы помогло мне подтвердить равенство $\Delta y=dy$ при $\Delta y\rightarrow 0$

[Lia]

Cheloveck
Для выборочного цитирования выделите нужный текст и нажмите кнопку Вставка в соотв. посте. Будет всем удобнее.

[Cheloveck]

Otta
Если это кратчайший путь,то различие между линейной частью приращения и приращением в том,что приращение содержит ещё одно слагаемое $\alpha(\Delta x)\Delta x$

-- 06.09.2021, 01:53 --

Lia в сообщении #1530723 писал(а):

Cheloveck
Для выборочного цитирования выделите нужный текст и нажмите кнопку Вставка в соотв. посте. Будет всем удобнее.

Приму к сведению

[Otta]

Угу. Где альфа стремится к нулю при малых $\Delta x$. Так?
И Вы считаете производную, т.е. предел отношения

$$\lim_{\Delta x\to 0}\dfrac{\Delta f}{\Delta x}= \lim_{\Delta x\to 0}\dfrac{f(x+\Delta x)-f(x)}{\Delta x}= \lim_{\Delta x\to 0}\dfrac{{\color{blue}f'(x)\Delta x} +\alpha(\Delta x)\Delta x}{\Delta x}$$

Сократите в пределе лишнее, перед тем как считать. Посчитайте.

А теперь скажите, есть разница, оставить бесконечно малую альфа и переходить к пределу, или убрать ее сразу? Как это скажется на результате?

[sergey zhukov]

Cheloveck
Да, приближенные равенства - это шаг наперед. Разложение любой функции в ряд в общем случае содержит бесконечное число членов со всевозможными степенями $\triangle x$. Сколько членов ряда оставить и сколько можно отбросить без ущерба для точности, при условии, что мы хотим в этой задаче устремить $\triangle x$ к нулю? Обычно достаточно оставить только член, линейный по $\triangle x$, т.к. мы видим, что остальные члены на точность не влияют. Просто пропадают при взятии предела, как я уже выше показывал.

Это следствие того, что "в точке" все линеаризуется: все кривые "при бесконечном увеличении" превращаются в прямые, все нелинейные зависимости в точке становятся линейными и т.д.

Да взять хотя бы задачу нахождения площади под кривой. Как мы делаем уже в школе? Разбиваем площадь на прямоугольники шириной $\Delta x$ (это значит, что приращение площади фигуры считается линейным по $x$ внутри каждого прямоугольника), а далее переходим к пределу. Надеюсь к вас нет никаких сомнений, что ошибка при таком определении площади фигуры стремится к нулю, несмотря на замену нелинейного приращения площади на линейное? Это прямо глазами можно видеть.

[wrest]

Cheloveck в сообщении #1530722 писал(а):

Посмотрел вновь и до этого смотрел,не могу найти что-то чтобы помогло мне подтвердить равенство $\Delta y=dy$ при $\Delta y\rightarrow 0$

Ну это уже не физика... Тут надо раскапывать, понимаете ли вы вообще что значит "стремится к нулю", "предел" т.п. Ну и что вообще значит запись $dy$. Вы например понимаете, что по сути это функция двух переменных? Что именно значит "линейная часть" в опрпделении и т.п...
Просто это немного другая тема.

Гляньте что уже спросили до вас, вдруг там есть ответы
«Физическое понимание дифференциала»
«Дифференциал и касательная»
«О дифференциале функции»

[Cheloveck]

Otta в сообщении #1530726 писал(а):

Угу. Где альфа стремится к нулю при малых $\Delta x$. Так?
И Вы считаете производную, т.е. предел отношения

$$\lim_{\Delta x\to 0}\dfrac{\Delta f}{\Delta x}= \lim_{\Delta x\to 0}\dfrac{f(x+\Delta x)-f(x)}{\Delta x}= \lim_{\Delta x\to 0}\dfrac{{\color{blue}f'(x)\Delta x} +\alpha(\Delta x)\Delta x}{\Delta x}$$

Сократите в пределе лишнее, перед тем как считать. Посчитайте.

А теперь скажите, есть разница, оставить бесконечно малую альфа и переходить к пределу, или убрать ее сразу? Как это скажется на результате?

Это хорошо.Выходит когда мы находим производную через предел,т.е если физик знает что когда-то дальше через предельный переход получится производная функции,то может смело использовать дифференциалы для составления уравнения ибо в пределе $\alpha(\Delta x)\Delta x$ уходит ?

-- 06.09.2021, 11:57 --

sergey zhukov
Хорошо,теперь я понимаю,что приближения и пренебрежения которые используются в физических задачах это своего рода ленивое действие которое без предельного перехода(не смотря на то,что он подразумевается неявно сделаным) позволяет получить то же ДУ или тот же результат у того кто проделал это более строго и потратил больше времени,но с дифференциалом дела обстоят отдельно как мне кажется,это по сути тоже приближённое равенство типа $dy\approx\Delta y$,но когда мы делаем предельный переход на какое-то равенство,то если там может быть получена производная,то значит пишем мы $\Delta y=dy$ или $\Delta y=dy+\alpha(\dx)dx$ не имеет значения ибо через предел получиться одно.

-- 06.09.2021, 11:59 --

Но так получается равенства до этого которые пишут физики вовсе не верные,но становятся верные потом и вообще может же быть какая-то ситуация когда используешь дифференциалы как бесконечно малые приращения,а в итоге в конце получилось так,что появилась ошибка ?

[Otta]

Cheloveck в сообщении #1530763 писал(а):

Это хорошо.Выходит когда мы находим производную через предел,т.е если физик знает что когда-то дальше через предельный переход получится производная функции,то может смело использовать дифференциалы для составления уравнения ибо в пределе $\alpha(\Delta x)\Delta x$ уходит ?

Что-то осталось непонятно, или Вы перестраховываетесь?
Может смело. Может осторожно. От физика зависит.

[Cheloveck]

wrest в сообщении #1530734 писал(а):

Ну это уже не физика... Тут надо раскапывать, понимаете ли вы вообще что значит "стремится к нулю", "предел" т.п. Ну и что вообще значит запись $dy$. Вы например понимаете, что по сути это функция двух переменных? Что именно значит "линейная часть" в опрпделении и т.п...
Просто это немного другая тема.

Гляньте что уже спросили до вас, вдруг там есть ответы
«Физическое понимание дифференциала»
«Дифференциал и касательная»
«О дифференциале функции»

Думаю всё кроме функции двух переменных,я слышал о них,но не знаю о них толком.Мне сложно представить,что это что-то содержательное,что может занять целую тему,но если это нужно на для понимания,то думаю не стоит откладывать.Кстати спасибо за темы других пользователей,я увидел там кое что полезное для этого обсуждения(в 1),хоть это и не удовлетворяет мои вопросы,но подтверждает что я мыслю вроде как в правильном направлении.

-- 06.09.2021, 12:12 --

Otta в сообщении #1530764 писал(а):

Что-то осталось непонятно, или Вы перестраховываетесь?
Может смело. Может осторожно. От физика зависит.

Я всегда задаю вопрос для уточнения,чтобы удостовериться правильно ли я понял то,что вы хотели сказать,ведь как вы видите на форуме не принято сразу всё объяснять и сообщения своего рода маленькие задачи,я хочу удостовериться в правильности понимания как можно сильнее.Поэтому сначала я стараюсь уточнить то о чём хотел сказать автор сообщения,а потом спрашиваю то,что мне не ясно.Как я понял вы говорите сейчас весьма прямо,что я понял ваш посыл.Это опрделённо прогресс,но я чувствую что есть какое-то неудовлетворение,надо подумать над этим и,возможно,сформулировать понятно то что я не понимаю

[Otta]

Cheloveck в сообщении #1530765 писал(а):

Поэтому сначала я стараюсь уточнить то о чём хотел сказать автор сообщения,

Знаете, это выглядит как вопрос Are you shure?
Да, вполне. ))

Не надо писать настолько замысловато, это не спасает. Напротив.

Есть и еще одна проблема. Несмотря на относительно долгое пребывание в Карантине и правку темы, у Вас не получилось явно вычленить, что же на самом деле вызывает затруднения. Возможно, было бы проще, если бы Вы ткнули в конкретное место или два приведенного текста и сказали - вот это и это я не понимаю. Потому и потому. Я понимаю так, а там вот так.

На данный момент у меня сложилось впечатление, что у Вас минимум два вопроса. Первый: на каком основании приращение функции приравнивается к дифференциалу (в тексте, кстати, нет знака строгого равенства между ними, оно приближенное). И до сих пор мы обсуждали этот вопрос. На самом деле, похоже, неявно висит и второй.

Рекомендация: попробуйте повторить выкладки из учебника, самому себе объясняя их. Так Вы сможете выявить, чего Вы не можете объяснить, а значит, недопонимаете.

[wrest]

Cheloveck в сообщении #1530765 писал(а):

Мне сложно представить,что это что-то содержательное,что может занять целую тему,но если это нужно на для понимания,то думаю не стоит откладывать.

Понимаете, вот просто по определению дифференциала. Смотрите например
Фихтенгольц, Курс дифференциального и интегрального исчисления. (трехтомник, первый том).
Пункт 103 определение дифференциала.
Там написано, что если существует $A$ такая что $\Delta y = A \cdot \Delta x + o(\Delta x)$ то функция $y=f(x)$ называется дифференцируемой, а $A \cdot \Delta x$ называется её дифференциалом и обозначается $dy$.

По определению! То есть тут не "а почему линейная часть приращения в пределе равна приращению, в чем причина этого и как убедиться что это так", а по определению именно так. А если это не так, то дифференциал для такой функции не существует и функция не дифференцируема. А если дифференциал существует, то только такой, который в пределе стремления приращения аргумента функции к нулю равен линейной части приращения функции.
Дальше, чтобы применять это, нужно убеждаться в том что функция дифференцируема. Например, из существования производной с необходимостью и достаточностью следует дифференцируемость. Ну и также следует что дифференциал равен производной умножить на приращение аргумента, т.е. $dy=y'(x) \Delta x$

Если да (функция дифференцируема), то всё хорошо и линейная часть её приращения будет равна
(будет стремиться) к полному приращению при стремлении приращения аргумента к нулю (по определению!). Если нет, то не повезло, и надо вооружаться по-другому.

Это (выше) так сказать "прямой путь". Усвойте его сперва.

Вы же ещё спрашиваете про "обратный путь" -- нам, из физических соображений, известны приращения функции в зависимости от значений самой функции и приращений её аргумента. Можем ли мы восстановить функцию как-то, если знаем какие-то начальные условия? См. "Задача Коши". Да, можем. Но для обратного пути надо сперва пройти прямой... В частности, понимать как из того что нам известна произвдная, можно восстановить вид самой функции (первообразной) и т.д. Т.е. это матан первых двух-трёх семестров технического вуза. Потом уже начинаются дифференциальные уравнения...

[realeugene]

Otta в сообщении #1530767 писал(а):

На данный момент у меня сложилось впечатление, что у Вас минимум два вопроса. Первый: на каком основании приращение функции приравнивается к дифференциалу (в тексте, кстати, нет знака строгого равенства между ними, оно приближенное). И до сих пор мы обсуждали этот вопрос. На самом деле, похоже, неявно висит и второй.

Да, у меня есть ощущение, что ТС на самом деле гложет философский вопрос: "почему же математика работает для физики"? И этот вопрос осложнён незнанием математики. Мне кажется, тут единственный путь - посоветовать ему сначала вспомнить математику, потом физику, и только потом вливаться в толпу философов.