Суммы степеней и определители

[RIP]

При натуральных $m,i,j$ обозначим через $N_m(i,j)$ количество
решений уравнения

$$j=x_1^m+\ldots+x_i^m$$

в целых неотрицательных числах. Докажите, что при любых
натуральных $m,n$

$$\det(N_m(i,j))_{i,j=1}^n=1.$$

[Sonic86]

Если бы $x_j \in \mathbb{N}$, то задача была бы простой: по главной диагонали стоят $N(x_1^m+...+x_i^m=i)$ - единички, ниже нее - $N(x_1^m+...+x_i^m=j), j<i$ - нули, поэтому определитель равен 1. Поэтому удобно свести исходную задачу с $x_j \in \mathbb{N}_0$ к задаче с $y_j \in \mathbb{N}$. Обозначим $M_m(i,j)=N(y_1^m+...+y_i^m=j)$. Как уже заметили, $\det(M_m(i,j))_{i,j=1}^n=1$
$N_m(i,j)=N(x_1^m+...+x_i^m=j) = \sum\limits_{k=0}^i N(y_1^m+...+y_k^m=j)=\sum\limits_{k=0}^i M_m(i,j)$ - строка определителя с номером i является линейной комбинацией строк с номерами от 1 до i и строки решений в числах из $\mathbb{N}$ (а не из $\mathbb{N}_0$). Складывая нужным образом строки мы получим для $i=2,...,n$ строки из чисел решений в натуральных числах. И еще $N_m(1,j)=M_m(1,j)$. Тогда получаем, $\det(N_m(i,j))_{i,j=1}^n=\det(M_m(i,j))_{i,j=1}^n=1$.