Кубики и суммы

[alisa-lebovski]

У обычного игрального кубика сумма чисел на гранях (1, 2, 3, 4, 5, 6) равна 21, сумма квадратов этих чисел 91. Существуют ли другие кубики (с другими наборами целых чисел на 6 гранях) с такими же суммами?

Более общий вопрос. Пусть граней $K$, сумма чисел равна $S_1$, сумма квадратов $S_2$. При каких $K, S_1, S_2$ решений много (чем больше, тем лучше)? И можно ли их как-то построить, не чисто перебором?

$$n_1\le n_2\le\dots\le n_K,\quad \sum_{i=1}^Kn_i=S_1,\quad \sum_{i=1}^Kn_i^2=S_2.$$

К сожалению, ничего не понимаю в теме поиска решений в целых чисел.

[wrest]

alisa-lebovski в сообщении #1529931 писал(а):

Существуют ли другие кубики (с другими наборами целых чисел на гранях) с такими же суммами?

$(2,2,3,3,4,7)$
Получено перебором.

[iifat]

Ну, в такой формулировке вычисляются два коэффициента многочлена $x^n+ax^{n-1}+bx^{n-2}+\dots$. Берём любые остальные, вычисляем корни -— и вот они, наши числа. Впрочем, вру, судя по требованию упорядоченности, все корни должны быть действительны. Ну, можно посчитать ряд Штурма для шестой степени и получить ещё какое-то количество условий.

[alisa-lebovski]

wrest в сообщении #1529935 писал(а):

Получено перебором.

Спасибо. Перебором то понятно.

iifat в сообщении #1529937 писал(а):

все корни должны быть действительны.

Все числа должны быть целыми.

[lel0lel]

{{0, 3, 4, 4, 5, 5}, {1, 2, 3, 4, 5, 6}, {2, 2, 3, 3, 4, 7}}

Для обычного кубика это все решения в целых (Wolfram). Если потребовать натуральность, то перебор для определённых наборов $\{K, S_1, S_2\}$ не такой уж долгий. Можно попробовать сделать его ещё более быстрым, используя неравенство о среднем арифметическом и среднем квадратичном. Полное решение совсем без всякого перебора тут найти вряд ли получится.

Для семигранного "кубика" $\{1,2,3,4,5,6,7\}$ все решения в целых:

{{0, 2, 5, 5, 5, 5, 6}, {0, 3, 3, 5, 5, 6, 6}, {0, 3, 4, 4, 5, 5, 7}, {1, 1, 4, 5, 5, 6, 6}, {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7}, {1, 3, 3, 4, 4, 5, 8}, {2, 2, 3, 3, 4, 7, 7}, {2, 2, 3, 3, 5, 5, 8}, {2, 3, 3, 3, 3, 6, 8}}

Интересно, что нет отрицательных. Впрочем, вероятно, это объясняется тем, что у исходного кубика последовательный набор чисел на гранях.

[Sender]

Если есть несколько кубиков, можно объединить их в один большей размерности. При этом количество вариантов будет равно произведению чисел вариантов отдельных кубиков.

[lel0lel]

Октаэдр $\{1,2,3,4,5,6,7,8\}$, полное решение:

{{-1, 3, 5, 5, 6, 6, 6, 6}, {-1, 4, 4, 5, 5, 6, 6, 7}, {0, 2, 4, 5, 5, 6, 7, 7}, {0, 2, 5, 5, 5, 5, 6, 8}, {0, 3, 3, 4, 6, 6, 7, 7}, {0, 3, 3, 5, 5, 6, 6, 8}, {0, 3, 4, 4, 4, 7, 7, 7}, {0, 3, 4, 4, 5, 5, 7, 8}, {0, 4, 4, 4, 5, 5, 5, 9}, {1, 1, 3, 6, 6, 6, 6, 7}, {1, 1, 4, 4, 6, 6, 7, 7}, {1, 1, 4, 5, 5, 6, 6, 8}, {1, 2, 2, 5, 6, 6, 7, 7}, {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8}, {1, 2, 4, 4, 5, 5, 6, 9}, {1, 3, 3, 4, 4, 5, 8, 8}, {1, 3, 3, 4, 4, 6, 6, 9}, {1, 3, 4, 4, 4, 4, 7, 9}, {2, 2, 2, 3, 6, 7, 7, 7}, {2, 2, 2, 5, 5, 5, 6, 9}, {2, 2, 3, 3, 4, 7, 7, 8}, {2, 2, 3, 3, 5, 5, 8, 8}, {2, 2, 3, 3, 5, 6, 6, 9}, {2, 2, 3, 4, 4, 5, 7, 9}, {2, 3, 3, 3, 3, 6, 8, 8}, {2, 3, 3, 4, 4, 5, 5, 10}, {3, 3, 3, 3, 4, 4, 6, 10}}

Наконец отрицательные решения появились. Время счёта $240$ секунд, это без оптимизации. Пока количество решений для классических "кубиков" (с последовательными натуральными числами на гранях) в зависимости от числа граней, начиная с двух, образуют последовательность $1,1,1,1,3,9,27.$

Sender в сообщении #1529943 писал(а):

Если есть несколько кубиков, можно объединить их в один большей размерности. При этом количество вариантов будет равно произведению чисел вариантов отдельных кубиков.

Это может ускорить перебор.

[alisa-lebovski]

Sender в сообщении #1529943 писал(а):

Если есть несколько кубиков, можно объединить их в один большей размерности. При этом количество вариантов будет равно произведению чисел вариантов отдельных кубиков.

С числами на гранях при этом что делать? Если складывать, то всех вариантов не получится.

lel0lel в сообщении #1529944 писал(а):

Пока количество решений для классических "кубиков" (с последовательными натуральными числами на гранях)

А это, кстати, и не обязательно. Это удобно, потому что понятно, что есть хотя бы одно решение с такими $K, S_1, S_2$. А в общем случае, непонятно еще, как определить, есть решения с какими-то параметрами или нет (я имею в виду, именно целочисленные, а не действительные - с теми понятно).

lel0lel в сообщении #1529944 писал(а):

$1,1,1,1,3,9,27.$

Это интересно, т.е. начиная с 5, растет каждый раз в 3 раза.

[Sender]

alisa-lebovski в сообщении #1529973 писал(а):

С числами на гранях при этом что делать?

Эмм, просто оставить в неизменном виде, естественно. Просто мультимножество чисел на гранях будет объединением мультимножеств чисел на гранях исходных кубиков. При этом $K=K^1+K^2$, $S_1=S_1^1+S_1^2$, $S_2=S_2^1+S_2^2$.

-- Пн авг 30, 2021 10:48:43 --

Кстати, есть и определённые теоретические результаты на эту тему. Возможно, они покажутся вам небезынтересными.
https://arxiv.org/abs/1305.6241

Цитата:

Let $X_n = (x_1, \dots , x_n)$ and let $\sigma_i(\overline {X_n}) = \sum x_{k_1}\dots x_{k_i}$ be the i-th elementary symmetric polynomial. In a recent paper [9] we generalized the results of Zhang and Cai [11, 12] and that of Schinzel [6] by proving that for all $n ≥ 4$ and each choice of $i, j \in \{1, \dots , n\}$ with $i < j$ there are infinitely many rational numbers $a$, $b$ such that the system of the Diophantine equations $\sigma_i (\overline{X_n})=a$, $\sigma_j (\overline{X_n})=b$ has infinitely many solutions in integers.

[Sender]

Sender в сообщении #1529943 писал(а):

При этом количество вариантов будет равно произведению чисел вариантов отдельных кубиков.

Это, вообще говоря, неверно.

[alisa-lebovski]

Sender в сообщении #1529975 писал(а):

Эмм, просто оставить в неизменном виде, естественно. Просто мультимножество чисел на гранях будет объединением мультимножеств чисел на гранях исходных кубиков.

Нет, я этого не понимаю. Если, например, формировать кубик с 36 гранями из 2 кубиков по 6 граней, то каждой грани нового кубика соответствует упорядоченная пара граней исходных кубиков, и соответственно упорядоченная пара чисел (вектор) на ней, а нужно одно число. Если это число - сумма компонент вектора, то получим НЕ все возможные кубики с 36 гранями и известными параметрами. Если мы допускаем, что на одной грани может быть не одно, а несколько чисел, которые мы включаем в общую сумму и сумму квадратов, это совсем другая задача.

[lel0lel]

alisa-lebovski в сообщении #1529991 писал(а):

кубик с 36 гранями из 2 кубиков по 6 граней

Имелось ввиду, что

Sender в сообщении #1529975 писал(а):

При этом $K=K^1+K^2$

То есть из двух кубиков по 6 граней мы формируем кубик с 12 гранями. Можно, конечно, и с 36 гранями получить, если какие-то кубики повторяются несколько раз.

[alisa-lebovski]

lel0lel в сообщении #1529995 писал(а):

То есть из двух кубиков по 6 граней мы формируем кубик с 12 гранями.

А, теперь поняла, мы просто подряд числа записываем. Но таким способом не получаются все возможные варианты. Если исходить из кубиков $\{1,2,3\}$ и $\{4,5,6\}$, то получается один вариант, а не три. Кстати, и наоборот - из разных пар множеств может получаться одно множество, т.е. число вариантов может и уменьшаться, по сравнению с произведением.

[lel0lel]

Девятигранник $\{1,2,3,4,5,6,7,8,9\}$, решений $80$, время счёта $1102$ секунды. Полное решение:

(Оффтоп)

{{-2, 4, 6, 6, 6, 6, 6, 6, 7}, {-2, 5, 5, 5, 6, 6, 6, 7, 7}, {-1, 2, 5, 6, 6, 6, 7, 7, 7}, {-1, 2, 6, 6, 6, 6, 6, 6, 8}, {-1, 3, 4, 5, 6, 6, 7, 7, 8}, {-1, 3, 5, 5, 5, 6, 6, 8, 8}, {-1, 3, 5, 5, 6, 6, 6, 6, 9}, {-1, 4, 4, 4, 5, 7, 7, 7, 8}, {-1, 4, 4, 4, 6, 6, 6, 8, 8}, {-1, 4, 4, 5, 5, 5, 7, 8, 8}, {-1, 4, 4, 5, 5, 6, 6, 7, 9}, {0, 1, 4, 6, 6, 7, 7, 7, 7}, {0, 1, 5, 5, 6, 6, 7, 7, 8}, {0, 2, 3, 5, 6, 7, 7, 7, 8}, {0, 2, 3, 6, 6, 6, 6, 8, 8}, {0, 2, 4, 4, 6, 6, 7, 8, 8}, {0, 2, 4, 5, 5, 6, 7, 7, 9}, {0, 2, 5, 5, 5, 5, 6, 8, 9}, {0, 3, 3, 4, 5, 7, 7, 8, 8}, {0, 3, 3, 4, 6, 6, 7, 7, 9}, {0, 3, 3, 5, 5, 5, 8, 8, 8}, {0, 3, 3, 5, 5, 6, 6, 8, 9}, {0, 3, 4, 4, 4, 6, 8, 8, 8}, {0, 3, 4, 4, 4, 7, 7, 7, 9}, {0, 3, 4, 4, 5, 5, 7, 8, 9}, {0, 3, 4, 4, 6, 6, 6, 6, 10}, {0, 3, 4, 5, 5, 5, 6, 7, 10}, {0, 4, 4, 4, 4, 6, 6, 7, 10}, {0, 4, 4, 4, 5, 5, 5, 9, 9}, {1, 1, 3, 5, 6, 6, 7, 8, 8}, {1, 1, 3, 6, 6, 6, 6, 7, 9}, {1, 1, 4, 4, 5, 7, 7, 8, 8}, {1, 1, 4, 4, 6, 6, 7, 7, 9}, {1, 1, 4, 5, 5, 5, 8, 8, 8}, {1, 1, 4, 5, 5, 6, 6, 8, 9}, {1, 1, 5, 5, 5, 6, 6, 6, 10}, {1, 2, 2, 4, 7, 7, 7, 7, 8}, {1, 2, 2, 5, 5, 7, 7, 8, 8}, {1, 2, 2, 5, 6, 6, 7, 7, 9}, {1, 2, 3, 3, 6, 7, 7, 8, 8}, {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9}, {1, 2, 3, 5, 5, 6, 6, 7, 10}, {1, 2, 4, 4, 5, 5, 6, 9, 9}, {1, 2, 4, 4, 5, 5, 7, 7, 10}, {1, 2, 4, 5, 5, 5, 5, 8, 10}, {1, 3, 3, 3, 4, 7, 8, 8, 8}, {1, 3, 3, 3, 6, 6, 6, 7, 10}, {1, 3, 3, 4, 4, 5, 8, 8, 9}, {1, 3, 3, 4, 4, 6, 6, 9, 9}, {1, 3, 3, 4, 4, 6, 7, 7, 10}, {1, 3, 3, 4, 5, 5, 6, 8, 10}, {1, 3, 4, 4, 4, 4, 7, 9, 9}, {1, 3, 4, 4, 5, 5, 6, 6, 11}, {1, 4, 4, 4, 4, 5, 5, 7, 11}, {2, 2, 2, 3, 6, 6, 8, 8, 8}, {2, 2, 2, 3, 6, 7, 7, 7, 9}, {2, 2, 2, 4, 4, 7, 8, 8, 8}, {2, 2, 2, 4, 6, 6, 6, 7, 10}, {2, 2, 2, 5, 5, 5, 6, 9, 9}, {2, 2, 2, 5, 5, 5, 7, 7, 10}, {2, 2, 3, 3, 4, 7, 7, 8, 9}, {2, 2, 3, 3, 5, 5, 8, 8, 9}, {2, 2, 3, 3, 5, 6, 6, 9, 9}, {2, 2, 3, 3, 5, 6, 7, 7, 10}, {2, 2, 3, 4, 4, 5, 7, 9, 9}, {2, 2, 3, 4, 4, 6, 6, 8, 10}, {2, 2, 3, 5, 5, 5, 6, 6, 11}, {2, 2, 4, 4, 4, 4, 7, 8, 10}, {2, 2, 4, 4, 4, 6, 6, 6, 11}, {2, 2, 4, 4, 5, 5, 5, 7, 11}, {2, 3, 3, 3, 3, 6, 8, 8, 9}, {2, 3, 3, 3, 4, 5, 7, 8, 10}, {2, 3, 3, 3, 5, 6, 6, 6, 11}, {2, 3, 3, 4, 4, 5, 5, 9, 10}, {2, 3, 3, 4, 4, 5, 6, 7, 11}, {2, 4, 4, 4, 4, 4, 4, 8, 11}, {3, 3, 3, 3, 4, 4, 6, 9, 10}, {3, 3, 3, 4, 4, 4, 5, 8, 11}, {3, 3, 4, 4, 4, 5, 5, 5, 12}, {3, 4, 4, 4, 4, 4, 4, 6, 12}}

Десятигранник $\{1,2,3,4,5,6,7,8,9,10\}$, решений $255$, время счёта $6183$ секунды. Полное решение:

(Оффтоп)

{{-3, 6, 6, 6, 6, 6, 7, 7, 7, 7}, {-2, 3, 5, 6, 6, 7, 7, 7, 8, 8}, {-2, 3, 6, 6, 6, 6, 6, 8, 8, 8}, {-2, 3, 6, 6, 6, 6, 7, 7, 7, 9}, {-2, 4, 4, 5, 7, 7, 7, 7, 8, 8}, {-2, 4, 4, 6, 6, 6, 7, 8, 8, 8}, {-2, 4, 4, 6, 6, 7, 7, 7, 7, 9}, {-2, 4, 5, 5, 5, 7, 7, 8, 8, 8}, {-2, 4, 5, 5, 6, 6, 7, 7, 8, 9}, {-2, 4, 6, 6, 6, 6, 6, 6, 7, 10}, {-2, 5, 5, 5, 5, 5, 8, 8, 8, 8}, {-2, 5, 5, 5, 5, 6, 6, 8, 8, 9}, {-2, 5, 5, 5, 6, 6, 6, 6, 9, 9}, {-2, 5, 5, 5, 6, 6, 6, 7, 7, 10}, {-1, 1, 5, 7, 7, 7, 7, 7, 7, 8}, {-1, 1, 6, 6, 6, 7, 7, 7, 8, 8}, {-1, 2, 4, 5, 7, 7, 7, 8, 8, 8}, {-1, 2, 4, 6, 6, 6, 8, 8, 8, 8}, {-1, 2, 4, 6, 6, 7, 7, 7, 8, 9}, {-1, 2, 5, 5, 5, 7, 8, 8, 8, 8}, {-1, 2, 5, 5, 6, 6, 7, 8, 8, 9}, {-1, 2, 5, 6, 6, 6, 6, 7, 9, 9}, {-1, 2, 5, 6, 6, 6, 7, 7, 7, 10}, {-1, 2, 6, 6, 6, 6, 6, 6, 8, 10}, {-1, 3, 3, 5, 6, 7, 8, 8, 8, 8}, {-1, 3, 3, 5, 7, 7, 7, 7, 8, 9}, {-1, 3, 3, 6, 6, 6, 7, 8, 8, 9}, {-1, 3, 4, 4, 6, 7, 7, 8, 8, 9}, {-1, 3, 4, 5, 5, 6, 8, 8, 8, 9}, {-1, 3, 4, 5, 5, 7, 7, 7, 9, 9}, {-1, 3, 4, 5, 6, 6, 6, 8, 9, 9}, {-1, 3, 4, 5, 6, 6, 7, 7, 8, 10}, {-1, 3, 5, 5, 5, 5, 7, 8, 9, 9}, {-1, 3, 5, 5, 5, 6, 6, 8, 8, 10}, {-1, 3, 5, 5, 6, 6, 6, 6, 9, 10}, {-1, 3, 5, 6, 6, 6, 6, 6, 7, 11}, {-1, 4, 4, 4, 4, 8, 8, 8, 8, 8}, {-1, 4, 4, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 9}, {-1, 4, 4, 4, 5, 7, 7, 7, 8, 10}, {-1, 4, 4, 4, 6, 6, 6, 8, 8, 10}, {-1, 4, 4, 5, 5, 5, 7, 8, 8, 10}, {-1, 4, 4, 5, 5, 6, 6, 7, 9, 10}, {-1, 4, 4, 5, 6, 6, 6, 7, 7, 11}, {-1, 4, 5, 5, 5, 5, 5, 9, 9, 9}, {-1, 4, 5, 5, 5, 5, 7, 7, 7, 11}, {-1, 4, 5, 5, 5, 6, 6, 6, 8, 11}, {-1, 5, 5, 5, 5, 5, 5, 7, 8, 11}, {0, 0, 5, 6, 7, 7, 7, 7, 8, 8}, {0, 0, 6, 6, 6, 6, 7, 8, 8, 8}, {0, 0, 6, 6, 6, 7, 7, 7, 7, 9}, {0, 1, 3, 6, 7, 7, 7, 8, 8, 8}, {0, 1, 3, 7, 7, 7, 7, 7, 7, 9}, {0, 1, 4, 5, 6, 7, 7, 8, 8, 9}, {0, 1, 4, 6, 6, 6, 7, 7, 9, 9}, {0, 1, 4, 6, 6, 7, 7, 7, 7, 10}, {0, 1, 5, 5, 5, 6, 8, 8, 8, 9}, {0, 1, 5, 5, 5, 7, 7, 7, 9, 9}, {0, 1, 5, 5, 6, 6, 6, 8, 9, 9}, {0, 1, 5, 5, 6, 6, 7, 7, 8, 10}, {0, 2, 2, 6, 6, 7, 8, 8, 8, 8}, {0, 2, 2, 6, 7, 7, 7, 7, 8, 9}, {0, 2, 3, 4, 6, 8, 8, 8, 8, 8}, {0, 2, 3, 4, 7, 7, 7, 8, 8, 9}, {0, 2, 3, 5, 5, 7, 8, 8, 8, 9}, {0, 2, 3, 5, 6, 6, 7, 8, 9, 9}, {0, 2, 3, 5, 6, 7, 7, 7, 8, 10}, {0, 2, 3, 6, 6, 6, 6, 8, 8, 10}, {0, 2, 4, 4, 5, 7, 7, 8, 9, 9}, {0, 2, 4, 4, 6, 6, 7, 8, 8, 10}, {0, 2, 4, 5, 5, 5, 8, 8, 9, 9}, {0, 2, 4, 5, 5, 6, 6, 9, 9, 9}, {0, 2, 4, 5, 5, 6, 7, 7, 9, 10}, {0, 2, 4, 5, 6, 6, 7, 7, 7, 11}, {0, 2, 4, 6, 6, 6, 6, 6, 8, 11}, {0, 2, 5, 5, 5, 5, 6, 8, 9, 10}, {0, 2, 5, 5, 5, 6, 6, 7, 8, 11}, {0, 3, 3, 3, 6, 7, 8, 8, 8, 9}, {0, 3, 3, 3, 7, 7, 7, 7, 9, 9}, {0, 3, 3, 4, 5, 6, 8, 8, 9, 9}, {0, 3, 3, 4, 5, 7, 7, 8, 8, 10}, {0, 3, 3, 4, 6, 6, 6, 9, 9, 9}, {0, 3, 3, 4, 6, 6, 7, 7, 9, 10}, {0, 3, 3, 5, 5, 5, 7, 9, 9, 9}, {0, 3, 3, 5, 5, 5, 8, 8, 8, 10}, {0, 3, 3, 5, 5, 6, 6, 8, 9, 10}, {0, 3, 3, 5, 5, 7, 7, 7, 7, 11}, {0, 3, 3, 5, 6, 6, 6, 7, 8, 11}, {0, 3, 4, 4, 4, 6, 7, 9, 9, 9}, {0, 3, 4, 4, 4, 6, 8, 8, 8, 10}, {0, 3, 4, 4, 4, 7, 7, 7, 9, 10}, {0, 3, 4, 4, 5, 5, 7, 8, 9, 10}, {0, 3, 4, 4, 5, 6, 7, 7, 8, 11}, {0, 3, 4, 4, 6, 6, 6, 6, 10, 10}, {0, 3, 4, 5, 5, 5, 6, 7, 10, 10}, {0, 3, 4, 5, 5, 5, 6, 8, 8, 11}, {0, 3, 4, 5, 5, 6, 6, 6, 9, 11}, {0, 3, 4, 6, 6, 6, 6, 6, 6, 12}, {0, 3, 5, 5, 5, 5, 5, 7, 9, 11}, {0, 3, 5, 5, 5, 6, 6, 6, 7, 12}, {0, 4, 4, 4, 4, 6, 6, 7, 10, 10}, {0, 4, 4, 4, 4, 6, 6, 8, 8, 11}, {0, 4, 4, 4, 5, 5, 5, 9, 9, 10}, {0, 4, 4, 4, 5, 5, 6, 7, 9, 11}, {0, 4, 4, 4, 6, 6, 6, 6, 7, 12}, {0, 4, 4, 5, 5, 5, 6, 7, 7, 12}, {0, 4, 5, 5, 5, 5, 5, 6, 8, 12}, {1, 1, 2, 5, 7, 7, 8, 8, 8, 8}, {1, 1, 2, 6, 6, 7, 7, 8, 8, 9}, {1, 1, 3, 4, 6, 7, 8, 8, 8, 9}, {1, 1, 3, 4, 7, 7, 7, 7, 9, 9}, {1, 1, 3, 5, 5, 7, 7, 8, 9, 9}, {1, 1, 3, 5, 6, 6, 7, 8, 8, 10}, {1, 1, 3, 6, 6, 6, 6, 7, 9, 10}, {1, 1, 4, 4, 5, 6, 8, 8, 9, 9}, {1, 1, 4, 4, 5, 7, 7, 8, 8, 10}, {1, 1, 4, 4, 6, 6, 6, 9, 9, 9}, {1, 1, 4, 4, 6, 6, 7, 7, 9, 10}, {1, 1, 4, 5, 5, 5, 7, 9, 9, 9}, {1, 1, 4, 5, 5, 5, 8, 8, 8, 10}, {1, 1, 4, 5, 5, 6, 6, 8, 9, 10}, {1, 1, 4, 5, 5, 7, 7, 7, 7, 11}, {1, 1, 4, 5, 6, 6, 6, 7, 8, 11}, {1, 1, 5, 5, 5, 5, 7, 7, 8, 11}, {1, 1, 5, 5, 5, 6, 6, 6, 10, 10}, {1, 2, 2, 4, 6, 7, 7, 8, 9, 9}, {1, 2, 2, 4, 7, 7, 7, 7, 8, 10}, {1, 2, 2, 5, 5, 6, 8, 8, 9, 9}, {1, 2, 2, 5, 5, 7, 7, 8, 8, 10}, {1, 2, 2, 5, 6, 6, 6, 9, 9, 9}, {1, 2, 2, 5, 6, 6, 7, 7, 9, 10}, {1, 2, 2, 6, 6, 6, 7, 7, 7, 11}, {1, 2, 3, 3, 5, 8, 8, 8, 8, 9}, {1, 2, 3, 3, 6, 6, 8, 8, 9, 9}, {1, 2, 3, 3, 6, 7, 7, 8, 8, 10}, {1, 2, 3, 4, 4, 7, 8, 8, 9, 9}, {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10}, {1, 2, 3, 4, 6, 6, 7, 7, 8, 11}, {1, 2, 3, 5, 5, 6, 6, 7, 10, 10}, {1, 2, 3, 5, 5, 6, 6, 8, 8, 11}, {1, 2, 3, 5, 6, 6, 6, 6, 9, 11}, {1, 2, 4, 4, 4, 5, 8, 9, 9, 9}, {1, 2, 4, 4, 4, 7, 7, 7, 8, 11}, {1, 2, 4, 4, 5, 5, 6, 9, 9, 10}, {1, 2, 4, 4, 5, 5, 7, 7, 10, 10}, {1, 2, 4, 4, 5, 5, 7, 8, 8, 11}, {1, 2, 4, 4, 5, 6, 6, 7, 9, 11}, {1, 2, 4, 5, 5, 5, 5, 8, 10, 10}, {1, 2, 4, 5, 5, 6, 6, 7, 7, 12}, {1, 2, 5, 5, 5, 5, 6, 6, 8, 12}, {1, 3, 3, 3, 4, 7, 7, 9, 9, 9}, {1, 3, 3, 3, 4, 7, 8, 8, 8, 10}, {1, 3, 3, 3, 5, 5, 8, 9, 9, 9}, {1, 3, 3, 3, 5, 7, 7, 7, 8, 11}, {1, 3, 3, 3, 6, 6, 6, 7, 10, 10}, {1, 3, 3, 3, 6, 6, 6, 8, 8, 11}, {1, 3, 3, 4, 4, 5, 8, 8, 9, 10}, {1, 3, 3, 4, 4, 6, 6, 9, 9, 10}, {1, 3, 3, 4, 4, 6, 7, 7, 10, 10}, {1, 3, 3, 4, 4, 6, 7, 8, 8, 11}, {1, 3, 3, 4, 5, 5, 6, 8, 10, 10}, {1, 3, 3, 4, 5, 5, 7, 7, 9, 11}, {1, 3, 3, 4, 6, 6, 6, 7, 7, 12}, {1, 3, 3, 5, 5, 5, 5, 8, 9, 11}, {1, 3, 3, 5, 5, 5, 7, 7, 7, 12}, {1, 3, 3, 5, 5, 6, 6, 6, 8, 12}, {1, 3, 4, 4, 4, 4, 7, 9, 9, 10}, {1, 3, 4, 4, 4, 5, 6, 8, 9, 11}, {1, 3, 4, 4, 4, 6, 7, 7, 7, 12}, {1, 3, 4, 4, 5, 5, 6, 6, 10, 11}, {1, 3, 4, 4, 5, 5, 6, 7, 8, 12}, {1, 3, 5, 5, 5, 5, 5, 5, 9, 12}, {1, 4, 4, 4, 4, 5, 5, 7, 10, 11}, {1, 4, 4, 4, 5, 5, 5, 6, 9, 12}, {1, 4, 4, 5, 5, 5, 6, 6, 6, 13}, {1, 4, 5, 5, 5, 5, 5, 5, 7, 13}, {2, 2, 2, 2, 7, 8, 8, 8, 8, 8}, {2, 2, 2, 3, 5, 7, 8, 8, 9, 9}, {2, 2, 2, 3, 6, 6, 7, 9, 9, 9}, {2, 2, 2, 3, 6, 6, 8, 8, 8, 10}, {2, 2, 2, 3, 6, 7, 7, 7, 9, 10}, {2, 2, 2, 4, 4, 7, 7, 9, 9, 9}, {2, 2, 2, 4, 4, 7, 8, 8, 8, 10}, {2, 2, 2, 4, 5, 5, 8, 9, 9, 9}, {2, 2, 2, 4, 5, 7, 7, 7, 8, 11}, {2, 2, 2, 4, 6, 6, 6, 7, 10, 10}, {2, 2, 2, 4, 6, 6, 6, 8, 8, 11}, {2, 2, 2, 5, 5, 5, 6, 9, 9, 10}, {2, 2, 2, 5, 5, 5, 7, 7, 10, 10}, {2, 2, 2, 5, 5, 5, 7, 8, 8, 11}, {2, 2, 2, 5, 5, 6, 6, 7, 9, 11}, {2, 2, 2, 6, 6, 6, 6, 6, 7, 12}, {2, 2, 3, 3, 4, 6, 8, 9, 9, 9}, {2, 2, 3, 3, 4, 7, 7, 8, 9, 10}, {2, 2, 3, 3, 5, 5, 8, 8, 9, 10}, {2, 2, 3, 3, 5, 6, 6, 9, 9, 10}, {2, 2, 3, 3, 5, 6, 7, 7, 10, 10}, {2, 2, 3, 3, 5, 6, 7, 8, 8, 11}, {2, 2, 3, 3, 6, 6, 6, 7, 9, 11}, {2, 2, 3, 4, 4, 5, 7, 9, 9, 10}, {2, 2, 3, 4, 4, 6, 6, 8, 10, 10}, {2, 2, 3, 4, 4, 6, 7, 7, 9, 11}, {2, 2, 3, 4, 5, 5, 6, 8, 9, 11}, {2, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 7, 7, 12}, {2, 2, 3, 4, 6, 6, 6, 6, 8, 12}, {2, 2, 3, 5, 5, 5, 6, 6, 10, 11}, {2, 2, 3, 5, 5, 5, 6, 7, 8, 12}, {2, 2, 4, 4, 4, 4, 7, 8, 10, 10}, {2, 2, 4, 4, 4, 4, 8, 8, 8, 11}, {2, 2, 4, 4, 4, 6, 6, 6, 10, 11}, {2, 2, 4, 4, 4, 6, 6, 7, 8, 12}, {2, 2, 4, 4, 5, 5, 5, 7, 10, 11}, {2, 2, 4, 5, 5, 5, 5, 6, 9, 12}, {2, 2, 5, 5, 5, 5, 6, 6, 6, 13}, {2, 3, 3, 3, 3, 6, 8, 8, 9, 10}, {2, 3, 3, 3, 4, 5, 7, 8, 10, 10}, {2, 3, 3, 3, 4, 5, 8, 8, 8, 11}, {2, 3, 3, 3, 4, 6, 6, 8, 9, 11}, {2, 3, 3, 3, 5, 6, 6, 6, 10, 11}, {2, 3, 3, 3, 5, 6, 6, 7, 8, 12}, {2, 3, 3, 4, 4, 4, 7, 8, 9, 11}, {2, 3, 3, 4, 4, 5, 5, 9, 10, 10}, {2, 3, 3, 4, 4, 5, 6, 7, 10, 11}, {2, 3, 3, 4, 4, 5, 7, 7, 8, 12}, {2, 3, 3, 4, 5, 5, 5, 8, 8, 12}, {2, 3, 3, 4, 5, 5, 6, 6, 9, 12}, {2, 3, 3, 5, 5, 6, 6, 6, 6, 13}, {2, 3, 4, 4, 4, 4, 5, 9, 9, 11}, {2, 3, 4, 4, 4, 4, 6, 8, 8, 12}, {2, 3, 4, 4, 4, 5, 5, 7, 9, 12}, {2, 3, 4, 4, 5, 5, 6, 6, 7, 13}, {2, 4, 4, 4, 4, 4, 4, 8, 10, 11}, {2, 4, 4, 4, 4, 5, 5, 5, 11, 11}, {2, 4, 4, 4, 4, 5, 5, 7, 7, 13}, {2, 4, 4, 4, 5, 5, 5, 5, 8, 13}, {3, 3, 3, 3, 3, 4, 9, 9, 9, 9}, {3, 3, 3, 3, 3, 5, 7, 8, 9, 11}, {3, 3, 3, 3, 3, 7, 7, 7, 7, 12}, {3, 3, 3, 3, 4, 4, 6, 9, 10, 10}, {3, 3, 3, 3, 4, 5, 5, 9, 9, 11}, {3, 3, 3, 3, 4, 5, 6, 8, 8, 12}, {3, 3, 3, 3, 4, 6, 6, 6, 9, 12}, {3, 3, 3, 3, 5, 5, 5, 7, 9, 12}, {3, 3, 3, 3, 6, 6, 6, 6, 6, 13}, {3, 3, 3, 4, 4, 4, 5, 8, 10, 11}, {3, 3, 3, 4, 4, 4, 6, 7, 9, 12}, {3, 3, 3, 4, 4, 6, 6, 6, 7, 13}, {3, 3, 3, 4, 5, 5, 5, 5, 11, 11}, {3, 3, 3, 4, 5, 5, 5, 7, 7, 13}, {3, 3, 3, 5, 5, 5, 5, 5, 8, 13}, {3, 3, 4, 4, 4, 4, 5, 6, 11, 11}, {3, 3, 4, 4, 4, 4, 6, 7, 7, 13}, {3, 3, 4, 4, 4, 5, 5, 5, 10, 12}, {3, 3, 4, 4, 4, 5, 5, 6, 8, 13}, {3, 4, 4, 4, 4, 4, 4, 6, 10, 12}, {4, 4, 4, 4, 5, 5, 5, 5, 5, 14}}

Была у меня мысль добраться до додекаэдра, но как-то долго. Последовательности с элементами $1,3,9,27,80,255$ в OEIS нет.

[alisa-lebovski]

lel0lel, спасибо, а не дадите ли свой код?