2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки


Правила форума


Посмотреть правила форума



Начать новую тему Ответить на тему
 
 Теорема о сохранении области
Сообщение16.08.2021, 00:46 


08/09/08
40
Теорема. Пусть $\Omega \subset \mathbb{R}^n$ - открытое множество, $f:\Omega \to \mathbb{R}^n$ - непрерывное инъективное отображение. Тогда $f(\Omega)$ - открытое множество в $\mathbb{R}^n$.

Подскажите, пожалуйста, доказательство этой теоремы, или ссылку, где можно его посмотреть. Чем проще доказательство, тем лучше.

 Профиль  
                  
 
 Re: Теорема о сохранении области
Сообщение16.08.2021, 13:01 
Заслуженный участник


11/05/08
32166
sasha-parazit в сообщении #1528800 писал(а):
Подскажите, пожалуйста, доказательство этой теоремы

Докажите формально более сильное утверждение: если конечномерное отображение непрерывно и при этом инъективно, то обратное тоже непрерывно.

 Профиль  
                  
 
 Re: Теорема о сохранении области
Сообщение16.08.2021, 17:23 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


08/11/11
5940
ewert в сообщении #1528812 писал(а):
Докажите формально более сильное утверждение: если конечномерное отображение непрерывно и при этом инъективно, то обратное тоже непрерывно.


Можете более точно сформулировать? Как я ни пытаюсь интерпретировать, получаю, что есть контрпример.

Исходный вопрос в качестве одного из следствий имеет теорему Брауэра (негомеоморфность $\mathbb R^n$ и $\mathbb R^m$ при $n\neq m$), поэтому без какой-то алгебраической топологии обойтись сложно.

 Профиль  
                  
 
 Re: Теорема о сохранении области
Сообщение16.08.2021, 20:01 
Заслуженный участник


09/05/13
8904
sasha-parazit
Тут смотрели https://terrytao.wordpress.com/2011/06/ ... h-problem/ ?

 Профиль  
                  
 
 Re: Теорема о сохранении области
Сообщение16.08.2021, 23:04 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


28/04/14
968
спб
ewert в сообщении #1528812 писал(а):
Докажите формально более сильное утверждение: если конечномерное отображение непрерывно и при этом инъективно, то обратное тоже непрерывно.

Всегда полагал, что если усилить исходное преположение теоремы Брауэра об инвариантности области с "непрерывной инъекцивности" на "гомеоморфизм на образ", то доказать утверждение теоремы (об открытости образа) будет все равно ничем не проще, чем в исходном утверждении. Сильно удивлюсь если это не так.

sasha-parazit в сообщении #1528800 писал(а):
Чем проще доказательство, тем лучше

Просто скорее всего не получится.

 Профиль  
                  
 
 Re: Теорема о сохранении области
Сообщение16.08.2021, 23:18 
Заслуженный участник


09/05/13
8904
demolishka
demolishka в сообщении #1528846 писал(а):
если усилить исходное преположение теоремы Брауэра об инвариантности области с "непрерывной инъекцивности" на "гомеоморфизм на образ", то доказать утверждение теоремы (об открытости образа) будет все равно ничем не проще,

Я, может, глючу. Но разве не хватит непрерывности обратного?

 Профиль  
                  
 
 Re: Теорема о сохранении области
Сообщение17.08.2021, 03:34 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


28/04/14
968
спб
Otta в сообщении #1528847 писал(а):
Но разве не хватит непрерывности обратного?

Ну пусть есть. Тогда исходное отображение переводит открытые множества в открытые множества. Но открытость последних известна лишь в индуцированной топологии в образе, а не в самом $\mathbb{R}^{n}$. Собственно вопрос об открытости этих множеств в $\mathbb{R}^{n}$ в частности содержит в себе вопрос об открытости самого образа в $\mathbb{R}^{n}$.

 Профиль  
                  
 
 Re: Теорема о сохранении области
Сообщение17.08.2021, 04:07 
Заслуженный участник


09/05/13
8904
demolishka в сообщении #1528854 писал(а):
Но открытость последних известна лишь в индуцированной топологии в образе

Эээээ....ааааа!! :D
Конечно, Вы правы. Спасибо.

 Профиль  
                  
 
 Re: Теорема о сохранении области
Сообщение17.08.2021, 04:42 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


28/04/14
968
спб
Отвечу еще по теме.
Otta в сообщении #1528842 писал(а):
Тут смотрели https://terrytao.wordpress.com/2011/06/ ... h-problem/ ?

Теорема Брауэра в $\mathbb{R}^{n}$, от которой Тао отталкивается, тоже по-хорошему требует аппарата алгебраической топологии. А когда он есть, то теорему об инвариантности области можно доказать, продолжая развивать алгебраический аппарат. Хоть последнее и требует дополнительных усилий. Так что подход Тао годится для аналитиков, освоивших азы алгебраической топологии до вычисления групп гомологий сферы. Тао вообще часто что-то сводит к анализу. Например, у него есть отличный препринт про разъяснение работ Перельмана для людей более осведомленных в УРЧП и динамике, нежели в геометрии.
sasha-parazit в сообщении #1528800 писал(а):
ссылку, где можно его посмотреть

Вот, например, можно посмотреть схему доказательства (за полными доказательствами Вас отправят к Хатчеру) с использованием сингулярных гомологий в конспекте лекций (теорема 4.5).

 Профиль  
                  
 
 Re: Теорема о сохранении области
Сообщение17.08.2021, 15:58 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


08/11/11
5940
demolishka в сообщении #1528856 писал(а):
Теорема Брауэра в $\mathbb{R}^{n}$, от которой Тао отталкивается, тоже по-хорошему требует аппарата алгебраической топологии.


Доказательство с использованием леммы Шпернера достаточно элементарное. Оно описано, например, у Прасолова "Элементы комбинаторной и дифференциальной топологии". В вики тоже приведены почти все детали -- для случая симплекса, который Тао и нужен.

https://en.wikipedia.org/wiki/Brouwer_f ... rial_proof
https://en.wikipedia.org/wiki/Sperner%27s_lemma

 Профиль  
                  
 
 Re: Теорема о сохранении области
Сообщение22.08.2021, 22:57 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


08/11/11
5940
На тему элементарных доказательств: есть рассуждение Милнора, которое я вроде у Прасолова тоже видел. Вспомнил, потому что оно в одном из телеграм-каналов упоминалось, но сейчас не нашёл в каком именно.

https://www.jstor.org/stable/2320860
https://www.jstor.org/stable/2321416

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 11 ] 

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: Vladimir Pliassov


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group