Теорема о сохранении области

[sasha-parazit]

Теорема. Пусть $\Omega \subset \mathbb{R}^n$ - открытое множество, $f:\Omega \to \mathbb{R}^n$ - непрерывное инъективное отображение. Тогда $f(\Omega)$ - открытое множество в $\mathbb{R}^n$.

Подскажите, пожалуйста, доказательство этой теоремы, или ссылку, где можно его посмотреть. Чем проще доказательство, тем лучше.

[ewert]

sasha-parazit в сообщении #1528800 писал(а):

Подскажите, пожалуйста, доказательство этой теоремы

Докажите формально более сильное утверждение: если конечномерное отображение непрерывно и при этом инъективно, то обратное тоже непрерывно.

[g______d]

ewert в сообщении #1528812 писал(а):

Докажите формально более сильное утверждение: если конечномерное отображение непрерывно и при этом инъективно, то обратное тоже непрерывно.

Можете более точно сформулировать? Как я ни пытаюсь интерпретировать, получаю, что есть контрпример.

Исходный вопрос в качестве одного из следствий имеет теорему Брауэра (негомеоморфность $\mathbb R^n$ и $\mathbb R^m$ при $n\neq m$), поэтому без какой-то алгебраической топологии обойтись сложно.

[Otta]

sasha-parazit
Тут смотрели https://terrytao.wordpress.com/2011/06/ ... h-problem/ ?

[demolishka]

ewert в сообщении #1528812 писал(а):

Докажите формально более сильное утверждение: если конечномерное отображение непрерывно и при этом инъективно, то обратное тоже непрерывно.

Всегда полагал, что если усилить исходное преположение теоремы Брауэра об инвариантности области с "непрерывной инъекцивности" на "гомеоморфизм на образ", то доказать утверждение теоремы (об открытости образа) будет все равно ничем не проще, чем в исходном утверждении. Сильно удивлюсь если это не так.

sasha-parazit в сообщении #1528800 писал(а):

Чем проще доказательство, тем лучше

Просто скорее всего не получится.

[Otta]

demolishka

demolishka в сообщении #1528846 писал(а):

если усилить исходное преположение теоремы Брауэра об инвариантности области с "непрерывной инъекцивности" на "гомеоморфизм на образ", то доказать утверждение теоремы (об открытости образа) будет все равно ничем не проще,

Я, может, глючу. Но разве не хватит непрерывности обратного?

[demolishka]

Otta в сообщении #1528847 писал(а):

Но разве не хватит непрерывности обратного?

Ну пусть есть. Тогда исходное отображение переводит открытые множества в открытые множества. Но открытость последних известна лишь в индуцированной топологии в образе, а не в самом $\mathbb{R}^{n}$. Собственно вопрос об открытости этих множеств в $\mathbb{R}^{n}$ в частности содержит в себе вопрос об открытости самого образа в $\mathbb{R}^{n}$.

[Otta]

demolishka в сообщении #1528854 писал(а):

Но открытость последних известна лишь в индуцированной топологии в образе

Эээээ....ааааа!!
Конечно, Вы правы. Спасибо.

[demolishka]

Отвечу еще по теме.

Otta в сообщении #1528842 писал(а):

Тут смотрели https://terrytao.wordpress.com/2011/06/ ... h-problem/ ?

Теорема Брауэра в $\mathbb{R}^{n}$, от которой Тао отталкивается, тоже по-хорошему требует аппарата алгебраической топологии. А когда он есть, то теорему об инвариантности области можно доказать, продолжая развивать алгебраический аппарат. Хоть последнее и требует дополнительных усилий. Так что подход Тао годится для аналитиков, освоивших азы алгебраической топологии до вычисления групп гомологий сферы. Тао вообще часто что-то сводит к анализу. Например, у него есть отличный препринт про разъяснение работ Перельмана для людей более осведомленных в УРЧП и динамике, нежели в геометрии.

sasha-parazit в сообщении #1528800 писал(а):

ссылку, где можно его посмотреть

Вот, например, можно посмотреть схему доказательства (за полными доказательствами Вас отправят к Хатчеру) с использованием сингулярных гомологий в конспекте лекций (теорема 4.5).

[g______d]

demolishka в сообщении #1528856 писал(а):

Теорема Брауэра в $\mathbb{R}^{n}$, от которой Тао отталкивается, тоже по-хорошему требует аппарата алгебраической топологии.

Доказательство с использованием леммы Шпернера достаточно элементарное. Оно описано, например, у Прасолова "Элементы комбинаторной и дифференциальной топологии". В вики тоже приведены почти все детали -- для случая симплекса, который Тао и нужен.

https://en.wikipedia.org/wiki/Brouwer_f ... rial_proof
https://en.wikipedia.org/wiki/Sperner%27s_lemma

[g______d]

На тему элементарных доказательств: есть рассуждение Милнора, которое я вроде у Прасолова тоже видел. Вспомнил, потому что оно в одном из телеграм-каналов упоминалось, но сейчас не нашёл в каком именно.

https://www.jstor.org/stable/2320860
https://www.jstor.org/stable/2321416