Простой вопрос про открытые множества

[Anton_Peplov]

YuryS в сообщении #1529138 писал(а):

Нет, я имею в виду характеризацию не просто открытых подмножеств множества $X$,
а еще чтобы они не были открытыми в $\mathbb R$.

Множество $V \subset X$ открыто в $X$, если и только если $V = U \cap X$, где $U$ открыто в $X$.
Сначала рассмотрите случай, когда $X$ открыто в $\mathbb R$ (например, $X = (0, 1)$). Что можно сказать об открытости/неоткрытости множества $V$ в $\mathbb R$?

А вот если $X$ не открыто, нет очевидного способа охарактеризовать все множества, открытые в $X$, но не в $\mathbb R$.

[YuryS]

Nemiroff в сообщении #1529150 писал(а):

А теперь поняли?

Да, достаточно было рассмотреть случай, когда множество $X$ не является открытым в $\mathbb{R}$.

Под произвольным X Вы понимали множество в смысле его открытости/неоткрытости, т.е.,
в смысле обладания некоторым свойством.

Я же понимал произвольность $X$ просто в смысле выбора точек, ему принадлежащих.

Потому сразу и не сообразил рассмотреть свойства $X$ ...

-- Сб авг 21, 2021 18:02:19 --

Anton_Peplov в сообщении #1529159 писал(а):

Сначала рассмотрите случай, когда $X$ открыто в $\mathbb R$ (например, $X = (0, 1)$). Что можно сказать об открытости/неоткрытости множества $V$ в $\mathbb R$?

Действительно, здесь всё просто -
если $X$ открыто в $\mathbb{R}$, то его пересечение с таким же открытым $U$,
даст открытое в $\mathbb{R}$ множество. А в силу Теоремы 4.4., это будет означать открытость $V$ в $\mathbb{R}$.

В случае неоткрытости $X$, его пересечение с $U$ может быть каким угодно ...