2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки


Правила форума


Посмотреть правила форума



Начать новую тему Ответить на тему На страницу 1, 2  След.
 
 Простой вопрос про открытые множества
Сообщение19.08.2021, 15:28 


30/01/08
45
Пусть $V$ и $X$ есть множества, такие что $V\subseteq X \subseteq \mathbb{R}^n$, и $V$ является открытым в $X$.
Тогда, очевидно, $V$ является открытым и в $\mathbb{R}^n$.
Теорема 4.4 в известной книжке Стинрод-Чинн (https://obuchalka.org/20190716111519/pe ... -1967.html) говорит, что совокупность открытых множеств в $X$ совпадает с совокупностью пересечений $X$ со всевозможными открытыми множествами в $\mathbb{R}^n$.
И далее в этой книге дается, в частности, длинное доказательство того, что если $V$ есть открытое множество в $X$, то найдется множество $U$, открытое в $\mathbb{R}^n$, такое что $V = X \cap U$.
В силу отмеченного выше, непонятно зачем они это делают, если можно в качестве $U$ взять просто само множество $V$. Или же я здесь что-то пропускаю?

 Профиль  
                  
 
 Re: Простой вопрос про открытые множества
Сообщение19.08.2021, 15:47 
Заслуженный участник


20/07/09
4026
МФТИ ФУПМ
Пусть $X$ произвольное, а $V=X$.

 Профиль  
                  
 
 Re: Простой вопрос про открытые множества
Сообщение19.08.2021, 15:57 


30/01/08
45
Nemiroff в сообщении #1529067 писал(а):
Пусть $X$ произвольное, а $V=X$.


Не понял вашу мысль - здесь $X$ и так произвольное,
а при $V = X$ всё сводится к тривиальному равенству $V = V \cap V$.

 Профиль  
                  
 
 Re: Простой вопрос про открытые множества
Сообщение19.08.2021, 16:11 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


20/08/14
8062
YuryS в сообщении #1529066 писал(а):
Пусть $V$ и $X$ есть множества, такие что $V\subseteq X \subseteq \mathbb{R}^n$, и $V$ является открытым в $X$.
Тогда, очевидно, $V$ является открытым и в $\mathbb{R}^n$.
Нет. Пусть $X = [0, 1] \subset \mathbb R$. Приведите пример множества $V$, открытого в $X$, но не в $\mathbb R$.

Ещё более простой пример. Пусть $X = \{0, 1\} \subset \mathbb R$. Перечислите все множества, открытые в $X$. Какие из них открыты в $\mathbb R$?

 Профиль  
                  
 
 Re: Простой вопрос про открытые множества
Сообщение19.08.2021, 16:26 


30/01/08
45
Anton_Peplov в сообщении #1529070 писал(а):
Нет. Пусть $X = [0, 1] \subset \mathbb R$. Приведите пример множества $V$, открытого в $X$, но не в $\mathbb R$.
Ну, пусть, например, $V=(1/3, 1/2)$. Это множество открыто как в $X$, так и в $\mathbb{R}$.

Если $X=\left\lbrace0,1\right\rbrace$, единственное открытое множество в нем есть $\varnothing$, которое является открытым как в $X$, так и в $\mathbb{R}$.

 Профиль  
                  
 
 Re: Простой вопрос про открытые множества
Сообщение19.08.2021, 16:30 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


26/01/14
4601
YuryS в сообщении #1529072 писал(а):
Ну, пусть, например, $V=(1/3, 1/2)$. Это множество открыто как в $X$, так и в $\mathbb{R}$.
Это верно. Но есть множества, открытые в $X=[0,1]$, но не в $\mathbb{R}$. Подумайте.
YuryS в сообщении #1529072 писал(а):
Если $X=\left\lbrace0,1\right\rbrace$, единственное открытое множество в нем есть $\varnothing$
Это неверно. Кажется, пора вспомнить (и выписать) определение открытого множества.

 Профиль  
                  
 
 Re: Простой вопрос про открытые множества
Сообщение19.08.2021, 18:39 


30/01/08
45
Да, спасибо, разобрался -

1) все подмножества множества $X = \left\lbrace 0, 1 \right\rbrace$ (еще проще, просто $\left\lbrace 0 \right\rbrace$) являются открытыми в $X$, но каждое из непустых таких подмножеств не является открытым в $\mathbb{R}$;

2) аналогично, любое подмножество множества $X = [ 0, 1 ]$, которое включает в себя либо 0, либо 1, является открытым в $X$, но не является таковым в $\mathbb{R}$.

 Профиль  
                  
 
 Re: Простой вопрос про открытые множества
Сообщение19.08.2021, 18:55 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


20/08/14
8062
YuryS в сообщении #1529081 писал(а):
все подмножества множества $X = \left\lbrace 0, 1 \right\rbrace$ (еще проще, просто $\left\lbrace 0 \right\rbrace$) являются открытыми в $X$, но каждое из непустых таких подмножеств не является открытым в $\mathbb{R}$;
Это верно.

YuryS в сообщении #1529081 писал(а):
аналогично, любое подмножество множества $X = [ 0, 1 ]$, которое включает в себя либо 0, либо 1, является открытым в $X$, но не является таковым в $\mathbb{R}$.
Неправда. Почему вы считаете открытым в $X = [ 0, 1 ]$, например, множество $\{0\}$? Каким определением открытого множества Вы пользуетесь? Приведите его здесь, будьте добры.

 Профиль  
                  
 
 Re: Простой вопрос про открытые множества
Сообщение19.08.2021, 19:38 


30/01/08
45
YuryS в сообщении #1529081 писал(а):
аналогично, любое подмножество множества $X = [ 0, 1 ]$, которое включает в себя либо 0, либо 1, является открытым в $X$, но не является таковым в $\mathbb{R}$.
Неправда. Почему вы считаете открытым в $X = [ 0, 1 ]$, например, множество $\{0\}$? Каким определением открытого множества Вы пользуетесь? Приведите его здесь, будьте добры.[/quote]

Вы правы - исправление:

множества вида $[ 0, x )$ и $[0, x ]$, где $0<x\leqslant1$, являются открытыми в $[0,1]$, но не являются таковыми в $\mathbb{R}$.

Аналогично, для $( x, 1 ]$ и $[ x, 1 ]$, где $0\leqslant x < 1$.

По-моему, так.

 Профиль  
                  
 
 Re: Простой вопрос про открытые множества
Сообщение19.08.2021, 19:45 
Заслуженный участник


09/05/12
25179
 !  YuryS, не надо использовать вложенные цитаты, если вы не умеете ими пользоваться. Одну я уже за вас поправил, но делать это в каждом сообщении не буду.

 Профиль  
                  
 
 Re: Простой вопрос про открытые множества
Сообщение19.08.2021, 20:14 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


20/08/14
8062
YuryS в сообщении #1529087 писал(а):
множества вида $[ 0, x )$ и $[0, x ]$, где $0<x\leqslant1$, являются открытыми в $[0,1]$, но не являются таковыми в $\mathbb{R}$.
И почему же является открытым в $[0,1]$, например, множество $[0, \frac{1}{2} ]$? Повторно прошу привести здесь определение открытого множества. А то пока кажется, что Вы в угадайку играете.

(Про цитаты)

Чтобы процитировать фрагмент сообщения, выделите его мышкой и щёлкните кнопку "Вставка" внизу этого же сообщения.

 Профиль  
                  
 
 Re: Простой вопрос про открытые множества
Сообщение20.08.2021, 14:39 


30/01/08
45
Продолжаю исправлять свои ошибки :) -

подмножествами множества $X = [ 0, 1 ]$, которые открыты в $X$, но не являются таковыми в $\mathbb{R}$ - это, в частности, множества:

1) $[ 0, x )$, где $0 <x \leqslant 1$,
2) $( x, 1 ]$, где $0 \leqslant x < 1$,
3) $[ 0, 1 ]$,
4) произвольные объединения множеств из пп. 1-3 выше.

Но вот охарактеризовать все такие подмножества с указанным свойством я затрудняюсь.
В них, в частности, будут входить множества $[ 0, \frac{1}{2} ) \cup ( \frac{1}{2}, \frac{3}{4} )$, и многие другие.

 Профиль  
                  
 
 Re: Простой вопрос про открытые множества
Сообщение20.08.2021, 14:51 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


26/01/14
4601
YuryS в сообщении #1529130 писал(а):
подмножествами множества $X = [ 0, 1 ]$, которые открыты в $X$, но не являются таковыми в $\mathbb{R}$ - это, в частности, множества:

1) $[ 0, x )$, где $0 <x \leqslant 1$,
2) $( x, 1 ]$, где $0 \leqslant x < 1$,
3) $[ 0, 1 ]$,
4) произвольные объединения множеств из пп. 1-3 выше.
YuryS в сообщении #1529130 писал(а):
В них, в частности, будут входить множества $[ 0, \frac{1}{2} ) \cup ( \frac{1}{2}, \frac{3}{4} )$, и многие другие.
Верно.
YuryS в сообщении #1529130 писал(а):
Но вот охарактеризовать все такие подмножества с указанным свойством я затрудняюсь.
Ну, собственно, такую характеристику Вы уже привели:
YuryS в сообщении #1529066 писал(а):
Теорема 4.4 в известной книжке Стинрод-Чинн (https://obuchalka.org/20190716111519/pe ... -1967.html ) говорит, что совокупность открытых множеств в $X$ совпадает с совокупностью пересечений $X$ со всевозможными открытыми множествами в $\mathbb{R}^n$.
Таким образом, открытые множества в $X=[0,1]$ - это в точности пересечения произвольных открытых множеств в $\mathbb{R}$ с самим $X$.
Можно, конечно, эту характеристику ещё немного упростить, если знать, какую структуру может иметь произвольное открытое множество в $\mathbb{R}$.

 Профиль  
                  
 
 Re: Простой вопрос про открытые множества
Сообщение20.08.2021, 20:13 


30/01/08
45
Нет, я имею в виду характеризацию не просто открытых подмножеств множества $X$,
а еще чтобы они не были открытыми в $\mathbb{R}$.

Т.е., множества типа $( \frac{1}{2}, \frac{2}{3} )$ , которые являются открытыми как в $X = [ 0, 1 ]$, так и $\mathbb{R}$, меня не интересуют - они не должны входить в характеризацию.

 Профиль  
                  
 
 Re: Простой вопрос про открытые множества
Сообщение20.08.2021, 22:05 
Заслуженный участник


20/07/09
4026
МФТИ ФУПМ
YuryS в сообщении #1529068 писал(а):
Не понял вашу мысль - здесь $X$ и так произвольное

А теперь поняли?

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 17 ]  На страницу 1, 2  След.

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group