Простой вопрос про открытые множества

[YuryS]

Пусть $V$ и $X$ есть множества, такие что $V\subseteq X \subseteq \mathbb{R}^n$, и $V$ является открытым в $X$.
Тогда, очевидно, $V$ является открытым и в $\mathbb{R}^n$.
Теорема 4.4 в известной книжке Стинрод-Чинн (https://obuchalka.org/20190716111519/pe ... -1967.html) говорит, что совокупность открытых множеств в $X$ совпадает с совокупностью пересечений $X$ со всевозможными открытыми множествами в $\mathbb{R}^n$.
И далее в этой книге дается, в частности, длинное доказательство того, что если $V$ есть открытое множество в $X$, то найдется множество $U$, открытое в $\mathbb{R}^n$, такое что $V = X \cap U$.
В силу отмеченного выше, непонятно зачем они это делают, если можно в качестве $U$ взять просто само множество $V$. Или же я здесь что-то пропускаю?

[Nemiroff]

Пусть $X$ произвольное, а $V=X$.

[YuryS]

Nemiroff в сообщении #1529067 писал(а):

Пусть $X$ произвольное, а $V=X$.

Не понял вашу мысль - здесь $X$ и так произвольное,
а при $V = X$ всё сводится к тривиальному равенству $V = V \cap V$.

[Anton_Peplov]

YuryS в сообщении #1529066 писал(а):

Пусть $V$ и $X$ есть множества, такие что $V\subseteq X \subseteq \mathbb{R}^n$, и $V$ является открытым в $X$.
Тогда, очевидно, $V$ является открытым и в $\mathbb{R}^n$.

Нет. Пусть $X = [0, 1] \subset \mathbb R$. Приведите пример множества $V$, открытого в $X$, но не в $\mathbb R$.

Ещё более простой пример. Пусть $X = \{0, 1\} \subset \mathbb R$. Перечислите все множества, открытые в $X$. Какие из них открыты в $\mathbb R$?

[YuryS]

Anton_Peplov в сообщении #1529070 писал(а):

Нет. Пусть $X = [0, 1] \subset \mathbb R$. Приведите пример множества $V$, открытого в $X$, но не в $\mathbb R$.

Ну, пусть, например, $V=(1/3, 1/2)$. Это множество открыто как в $X$, так и в $\mathbb{R}$.

Если $X=\left\lbrace0,1\right\rbrace$, единственное открытое множество в нем есть $\varnothing$, которое является открытым как в $X$, так и в $\mathbb{R}$.

[Mikhail_K]

YuryS в сообщении #1529072 писал(а):

Ну, пусть, например, $V=(1/3, 1/2)$. Это множество открыто как в $X$, так и в $\mathbb{R}$.

Это верно. Но есть множества, открытые в $X=[0,1]$, но не в $\mathbb{R}$. Подумайте.

YuryS в сообщении #1529072 писал(а):

Если $X=\left\lbrace0,1\right\rbrace$, единственное открытое множество в нем есть $\varnothing$

Это неверно. Кажется, пора вспомнить (и выписать) определение открытого множества.

[YuryS]

Да, спасибо, разобрался -

1) все подмножества множества $X = \left\lbrace 0, 1 \right\rbrace$ (еще проще, просто $\left\lbrace 0 \right\rbrace$) являются открытыми в $X$, но каждое из непустых таких подмножеств не является открытым в $\mathbb{R}$;

2) аналогично, любое подмножество множества $X = [ 0, 1 ]$, которое включает в себя либо 0, либо 1, является открытым в $X$, но не является таковым в $\mathbb{R}$.

[Anton_Peplov]

YuryS в сообщении #1529081 писал(а):

все подмножества множества $X = \left\lbrace 0, 1 \right\rbrace$ (еще проще, просто $\left\lbrace 0 \right\rbrace$) являются открытыми в $X$, но каждое из непустых таких подмножеств не является открытым в $\mathbb{R}$;

Это верно.

YuryS в сообщении #1529081 писал(а):

аналогично, любое подмножество множества $X = [ 0, 1 ]$, которое включает в себя либо 0, либо 1, является открытым в $X$, но не является таковым в $\mathbb{R}$.

Неправда. Почему вы считаете открытым в $X = [ 0, 1 ]$, например, множество $\{0\}$? Каким определением открытого множества Вы пользуетесь? Приведите его здесь, будьте добры.

[YuryS]

YuryS в сообщении #1529081 писал(а):

аналогично, любое подмножество множества $X = [ 0, 1 ]$, которое включает в себя либо 0, либо 1, является открытым в $X$, но не является таковым в $\mathbb{R}$.

Неправда. Почему вы считаете открытым в $X = [ 0, 1 ]$, например, множество $\{0\}$? Каким определением открытого множества Вы пользуетесь? Приведите его здесь, будьте добры.[/quote]

Вы правы - исправление:

множества вида $[ 0, x )$ и $[0, x ]$, где $0<x\leqslant1$, являются открытыми в $[0,1]$, но не являются таковыми в $\mathbb{R}$.

Аналогично, для $( x, 1 ]$ и $[ x, 1 ]$, где $0\leqslant x < 1$.

По-моему, так.

[Pphantom]

YuryS, не надо использовать вложенные цитаты, если вы не умеете ими пользоваться. Одну я уже за вас поправил, но делать это в каждом сообщении не буду.

[Anton_Peplov]

YuryS в сообщении #1529087 писал(а):

множества вида $[ 0, x )$ и $[0, x ]$, где $0<x\leqslant1$, являются открытыми в $[0,1]$, но не являются таковыми в $\mathbb{R}$.

И почему же является открытым в $[0,1]$, например, множество $[0, \frac{1}{2} ]$? Повторно прошу привести здесь определение открытого множества. А то пока кажется, что Вы в угадайку играете.

(Про цитаты)

Чтобы процитировать фрагмент сообщения, выделите его мышкой и щёлкните кнопку "Вставка" внизу этого же сообщения.

[YuryS]

Продолжаю исправлять свои ошибки :) -

подмножествами множества $X = [ 0, 1 ]$, которые открыты в $X$, но не являются таковыми в $\mathbb{R}$ - это, в частности, множества:

1) $[ 0, x )$, где $0 <x \leqslant 1$,
2) $( x, 1 ]$, где $0 \leqslant x < 1$,
3) $[ 0, 1 ]$,
4) произвольные объединения множеств из пп. 1-3 выше.

Но вот охарактеризовать все такие подмножества с указанным свойством я затрудняюсь.
В них, в частности, будут входить множества $[ 0, \frac{1}{2} ) \cup ( \frac{1}{2}, \frac{3}{4} )$, и многие другие.

[Mikhail_K]

YuryS в сообщении #1529130 писал(а):

подмножествами множества $X = [ 0, 1 ]$, которые открыты в $X$, но не являются таковыми в $\mathbb{R}$ - это, в частности, множества:

1) $[ 0, x )$, где $0 <x \leqslant 1$,
2) $( x, 1 ]$, где $0 \leqslant x < 1$,
3) $[ 0, 1 ]$,
4) произвольные объединения множеств из пп. 1-3 выше.

YuryS в сообщении #1529130 писал(а):

В них, в частности, будут входить множества $[ 0, \frac{1}{2} ) \cup ( \frac{1}{2}, \frac{3}{4} )$, и многие другие.

Верно.

YuryS в сообщении #1529130 писал(а):

Но вот охарактеризовать все такие подмножества с указанным свойством я затрудняюсь.

Ну, собственно, такую характеристику Вы уже привели:

YuryS в сообщении #1529066 писал(а):

Теорема 4.4 в известной книжке Стинрод-Чинн (https://obuchalka.org/20190716111519/pe ... -1967.html ) говорит, что совокупность открытых множеств в $X$ совпадает с совокупностью пересечений $X$ со всевозможными открытыми множествами в $\mathbb{R}^n$.

Таким образом, открытые множества в $X=[0,1]$ - это в точности пересечения произвольных открытых множеств в $\mathbb{R}$ с самим $X$.
Можно, конечно, эту характеристику ещё немного упростить, если знать, какую структуру может иметь произвольное открытое множество в $\mathbb{R}$.

[YuryS]

Нет, я имею в виду характеризацию не просто открытых подмножеств множества $X$,
а еще чтобы они не были открытыми в $\mathbb{R}$.

Т.е., множества типа $( \frac{1}{2}, \frac{2}{3} )$ , которые являются открытыми как в $X = [ 0, 1 ]$, так и $\mathbb{R}$, меня не интересуют - они не должны входить в характеризацию.

[Nemiroff]

YuryS в сообщении #1529068 писал(а):

Не понял вашу мысль - здесь $X$ и так произвольное

А теперь поняли?