функция эйлера!

[T-Mac]

Подскажите как решить уравнение
$ \varphi(5x)=\varphi(7x) $

[Sonic86]

Попробуйте рассмотреть 4 случая делимости или неделимости х на 5 и на 7.

[T-Mac]

что то вообще не получается , а можете показать рассуждения например при $x$ кратным 5, но не кратным 7?

[mkot]

У меня такое подозрение, что в целых положительных числах это уравнение решений не имеет.
В самом деле,
пусть $5^k \,|\, x$, $5^{k+1} \not|\, x$, $7^m \,|\, x$, $7^{m+1} \not|\, x$,
где $a \, | \, b$ означает, что $a$ делит $b$.
Положим $y = \frac{x}{5^k7^m}$. Тогда
$\varphi(5\cdot 5^k \cdot 7^m \cdot y) = \varphi(7\cdot 5^k \cdot 7^m \cdot y),$
$\varphi(5^{k+1} \cdot 7^m \cdot y) = \varphi(5^k \cdot 7^{m+1} \cdot y),$
$\varphi(5^{k+1}) \cdot\varphi( 7^m) \cdot \varphi(y) = \varphi(5^k) \cdot \varphi(7^{m+1}) \cdot \varphi(y),$
$(5^{k+1} - 5^k) \cdot( 7^m - 7^{m-1}) \cdot \varphi(y) = (5^k - 5^{k-1}) \cdot (7^{m+1} - 7^m) \cdot \varphi(y),$
$(5^{k+1} - 5^k) \cdot( 7^m - 7^{m-1}) \cdot \varphi(y) = (5^k - 5^{k-1}) \cdot (7^{m+1} - 7^m) \cdot \varphi(y),$
$5^{k-1}\cdot (5^2 - 5) \cdot7^{m-1}\cdot( 7-1) \cdot \varphi(y) = 5^{k-1}\cdot(5 - 1}) \cdot 7^{m-1} \cdot (7^2 - 7) \cdot \varphi(y),$
$120 \cdot \varphi(y) = 168 \cdot \varphi(y),$
$\varphi(y) = 0,$
Но для любых положительных целых это неверно. Таким образом, $x = 0$.
Рассматривая случаи $5 \not|\, x \,\&\, 7 \not|\, x$, $5 \not|\, x \,\&\, 7 \,|\, x$ и $5 \,|\, x \,\& \,7 \not|\, x$ приходим к тому же результату.
Я могу сильно ошибаться.

[ИСН]

Всё так.
A bit too verbose, though.

[mkot]

ИСН писал(а):

Всё так.

Еще, на сколько я понимаю, нужно отдельно рассмотреть подслучай, когда $y=1$,
в каждом из случаев. Но это я только после понял .