Механическая система из двух точек с нулевыми скоростями

[ArshakA]

Читаю самое начало Арнольда "Математические методы классической механики": определены галилеево пространство, инерциальная система координат (как галилеев изоморфизм с координатным галилеевым пространством $\mathbb{R} \times \mathbb{R}^3$) уравнение Ньютона

$$\ddot{x} = F(t, x, \dot{x})$$

где $x \colon \mathbb{R} \to (\mathbb{R}^3)^n$ движение системы $n$ точек. Из инвариантности относительно галилеевых преобразований получены ограничения на $F$ -- она не зависит от $t$, зависит только от относительных положений, относительных скоростей и не меняется при поворотах.

Не понимаю как решить

Задача 2. Механическая система состоит из двух точек. В начальный момент их скорости (в некоторой инерциальной системе координат) равны нулю. Докажите, что точки будут двигаться по соединяющей их прямой.

Например, предыдущая

Задача 1. Докажите, что если механическая система состоит из одной точки, то её ускорение в инерциальной системе координат равно нулю.

Решается просто: из инвариантности относительно галилеевых преобразований $F = a$ постоянный вектор, а из инвариантности относительно вращений $a = 0$.

Я не понимаю как использовать условие, что начальные скорости равны $0$. Да, в этот момент мы знаем, что $x, \dot{x}$ симметрично относительно вращений прямой проходящей через точки, следовательно и ускорение должно лежать в этой прямой. Но как мы перейдем к следующим моментам? Неужели тут предполагается вещественная индукция?

[Null]

Если решение одно - то оно лежит на оси симметрии. Почему оно одно?

[ArshakA]

Решение одно по теореме единственности решения задачи Коши (гладкости правой части достаточно).

Если бы решение не лежало на оси симметрии, то под действием вращения (гамильтонового преобразования сохраняющего начальные данные) мы получали бы новые решения, понятно, спасибо!